Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+1 \right)x-m-1$. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên $m<20$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?
A. 18.
B. 17.
C. 16.
D. 19.
A. 18.
B. 17.
C. 16.
D. 19.
Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành $\Leftrightarrow $ đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình ${{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+1 \right)x-m-1=0 \left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt.
Mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2mx+1+m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-1>0 \\
& 2-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right) \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Do $m\in \mathbb{N},m<20$ nên $3\le m<20$ nên có 17 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2mx+1+m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-1>0 \\
& 2-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right) \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Do $m\in \mathbb{N},m<20$ nên $3\le m<20$ nên có 17 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.