Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, biết đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị ấy đi qua điểm $A\left( 0;1 \right),$ hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=bcd+2bc+3d+20.$
A. $\min T=-14.$
B. $\min T=2.$
C. $\min T=14.$
D. $\min T=-2.$
A. $\min T=-14.$
B. $\min T=2.$
C. $\min T=14.$
D. $\min T=-2.$
${y}'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$
Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3c>0$
Lấy $y$ chia cho ${y}'$ ta được $y={y}'.\left( \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}b \right)+\left( \dfrac{c}{3}-\dfrac{2{{b}^{2}}}{9} \right)x+d-\dfrac{bc}{9}.$
$\left( d \right)$ qua $A\left( 0;1 \right)$ nên $d-\dfrac{bc}{9}=1\Leftrightarrow bc=9\left( d-1 \right).$
Khi đó $T=bcd+2bc+3d+20=9\left( d-1 \right)d+18\left( d-1 \right)+3d+20={{\left( 3d+4 \right)}^{2}}-14\ge -14.$
Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3c>0$
Lấy $y$ chia cho ${y}'$ ta được $y={y}'.\left( \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}b \right)+\left( \dfrac{c}{3}-\dfrac{2{{b}^{2}}}{9} \right)x+d-\dfrac{bc}{9}.$
$\left( d \right)$ qua $A\left( 0;1 \right)$ nên $d-\dfrac{bc}{9}=1\Leftrightarrow bc=9\left( d-1 \right).$
Khi đó $T=bcd+2bc+3d+20=9\left( d-1 \right)d+18\left( d-1 \right)+3d+20={{\left( 3d+4 \right)}^{2}}-14\ge -14.$
Đáp án A.