Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng $-1$ cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
A. $\dfrac{13}{2}$
B. $\dfrac{25}{4}$
C. $\dfrac{27}{4}$
D. $\dfrac{11}{2}$
Ta có $A\left( -1;a-b+c-1 \right)$ và ${y}'=3{{x}^{2}}+2ax+b\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=3-2a+b$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A: $y=\left( 3-2a+b \right)\left( x+1 \right)+a-b+c-1\left( d \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là:
${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=\left( 3-2a+b \right)\left( x+1 \right)+a-b+c-1\left( 1 \right)$.
Phương trình (1) có nghiệm $x=-1;x=2\Leftrightarrow 4a+2b+c+8=3\left( 3-2a+b \right)+a-b+c-19a=0\Leftrightarrow a=0$.
Suy ra $\left( C \right):y={{x}^{2}}+bx+c$ và $d:y=\left( 3+b \right)\left( x+1 \right)-b+c-1$.
Diện tích hình phẳng là: $S=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ \left( 3+b \right)\left( x+1 \right)-b+c-1-\left( {{x}^{3}}+bx+c \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 3x-{{x}^{3}}+2 \right)dx}=\dfrac{27}{4}$.
A. $\dfrac{13}{2}$
B. $\dfrac{25}{4}$
C. $\dfrac{27}{4}$
D. $\dfrac{11}{2}$
Ta có $A\left( -1;a-b+c-1 \right)$ và ${y}'=3{{x}^{2}}+2ax+b\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=3-2a+b$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A: $y=\left( 3-2a+b \right)\left( x+1 \right)+a-b+c-1\left( d \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là:
${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=\left( 3-2a+b \right)\left( x+1 \right)+a-b+c-1\left( 1 \right)$.
Phương trình (1) có nghiệm $x=-1;x=2\Leftrightarrow 4a+2b+c+8=3\left( 3-2a+b \right)+a-b+c-19a=0\Leftrightarrow a=0$.
Suy ra $\left( C \right):y={{x}^{2}}+bx+c$ và $d:y=\left( 3+b \right)\left( x+1 \right)-b+c-1$.
Diện tích hình phẳng là: $S=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ \left( 3+b \right)\left( x+1 \right)-b+c-1-\left( {{x}^{3}}+bx+c \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 3x-{{x}^{3}}+2 \right)dx}=\dfrac{27}{4}$.
Đáp án C.