Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+1$ có đồ thị là (C) và điểm...

Gọi $A\left( a;-{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}+1 \right)\in \left( C \right),{y}'=-3{{x}^{2}}+8x.$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A là: $y=\left( -3{{a}^{2}}+8a \right)\left( x-a \right)-{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}+1$
Để tiếp tuyến đi qua M(m;1) thì $1=\left( -3{{a}^{2}}+8a \right)\left( m-a \right)-{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+\left( 3{{a}^{2}}-8a \right)\left( m-a \right)=0\Leftrightarrow a\left[ {{a}^{2}}-4a+\left( 3a-8 \right)\left( m-a \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& g\left( a \right)=-2{{a}^{2}}+\left( 4+3m \right)a-8m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì $g\left( a \right)=0$ phải có nghiệm kép khác 0 hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( 4+3m \right)}^{2}}-64m=0 \\
& g\left( 0 \right)=-8m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( 4+3m \right)}^{2}}-64m>0 \\
& g\left( 0 \right)=-8m=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=\dfrac{4}{9} \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $S=\left\{ 4;\dfrac{4}{9};0 \right\}\Rightarrow $ Tổng các phần tử của S là: $\dfrac{40}{9}.$