Cho hàm số $y=-x^3+4x^2+1$ có đồ thị là (C) và điểm...

Gọi $A(a;-a^3+4a^2+1)\in \left(C\right),y^{\prime }=-3x^2+8x.$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A là: $y=(-3a^2+8a)(x-a)-a^3+4a^2+1$
Để tiếp tuyến đi qua M(m;1) thì $1=(-3a^2+8a)(m-a)-a^3+4a^2+1$
$\iff a^3-4a^2+(3a^2-8a)(m-a)=0\iff a[a^2-4a+(3a-8)(m-a)]=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& a=0\\ & g\left(a\right)=-2a^2+(4+3m)a-8m=0\end{array}$
Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì $g\left(a\right)=0$ phải có nghiệm kép khác 0 hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0
$\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={(4+3m)}^2-64m=0\\ & g\left(0\right)=-8m\ne 0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={(4+3m)}^2-64m>0\\ & g\left(0\right)=-8m=0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=4\\ & m={\displaystyle \frac{4}{9}}\\ & m=0\end{array}$
Suy ra $S=\{4;{\displaystyle \frac{4}{9}};0\}\Rightarrow$ Tổng các phần tử của S là: ${\displaystyle \frac{40}{9}}.$