Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của $k$ để đường thẳng $y=k\left( x+1 \right)+2$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $M,$ $N,$ $P$ sao cho các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $N$ và $P$ vuông góc với nhau. Biết $M\left( -1;2 \right),$ tính tích tất cả các phần tử của tập $S$
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $-\dfrac{2}{9}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $-1$
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $-\dfrac{2}{9}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $-1$
Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là nghiệm phương trình:
${{x}^{3}}-3x=k\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-2=k\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& \underbrace{{{x}^{2}}-x-k-2}_{f\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để $\left( C \right)$ cắt $d$ tại ba điểm phân biệt $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\ne 0 \\
& k>-\dfrac{9}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, gọi $M\left( -1;2 \right),$ $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),$ $P\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là tọa độ giao điểm $\left( C \right)$ và $d$
Với ${{x}_{1}},$ ${{x}_{2}}$ thỏa mãn hệ thức Vi – et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-k-2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra, ta có ${y}'\left( {{x}_{1}} \right).{y}'\left( {{x}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( 3x_{2}^{2}-3 \right)=-1$
$\Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-9\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+9=-1\Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-9\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+10=0$
Suy ra $9{{\left( k+2 \right)}^{2}}-9\left( 2k+5 \right)+10=0\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+36k+36-18k-45+10=0\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+18k+1=0$
Vậy tích các phần tử của $S$ là ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{1}{9}.$
${{x}^{3}}-3x=k\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-2=k\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& \underbrace{{{x}^{2}}-x-k-2}_{f\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để $\left( C \right)$ cắt $d$ tại ba điểm phân biệt $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\ne 0 \\
& k>-\dfrac{9}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, gọi $M\left( -1;2 \right),$ $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),$ $P\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là tọa độ giao điểm $\left( C \right)$ và $d$
Với ${{x}_{1}},$ ${{x}_{2}}$ thỏa mãn hệ thức Vi – et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-k-2 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra, ta có ${y}'\left( {{x}_{1}} \right).{y}'\left( {{x}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( 3x_{2}^{2}-3 \right)=-1$
$\Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-9\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+9=-1\Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-9\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+10=0$
Suy ra $9{{\left( k+2 \right)}^{2}}-9\left( 2k+5 \right)+10=0\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+36k+36-18k-45+10=0\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+18k+1=0$
Vậy tích các phần tử của $S$ là ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{1}{9}.$
Đáp án A.