Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $\left(C\right).$ Gọi $S$...

Hoành độ giao điểm của $\left(C\right)$ và $d$ là nghiệm phương trình:
$x^3-3x=k(x+1)+2\iff x^3-3x-2=k(x+1)\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & \underset{f\left(x\right)}{\underbrace{x^2-x-k-2}}=0\end{array}$
Để $\left(C\right)$ cắt $d$ tại ba điểm phân biệt $N(x_1;y_1),$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& k\ne 0\\ & k>-{\displaystyle \frac{9}{4}}\end{array}$
Khi đó, gọi $M(-1;2),$ $N(x_1;y_1),$ $P(x_2;y_2)$ là tọa độ giao điểm $\left(C\right)$ và $d$
Với $x_1,$ $x_2$ thỏa mãn hệ thức Vi – et: $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=1\\ & x_1{x}_2=-k-2\end{array}$
Theo bài ra, ta có $y^{\prime }\left(x_1\right).y^{\prime }\left(x_2\right)=-1\iff (3x_1^2-3)(3x_2^2-3)=-1$
$\iff 9{\left(x_1{x}_2\right)}^2-9(x_1^2+x_2^2)+9=-1\iff 9{\left(x_1{x}_2\right)}^2-9[{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2]+10=0$
Suy ra $9{(k+2)}^2-9(2k+5)+10=0\iff 9k^2+36k+36-18k-45+10=0\iff 9k^2+18k+1=0$
Vậy tích các phần tử của $S$ là $k_1{k}_2={\displaystyle \frac{1}{9}}.$