Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=m\left( x+2 \right).$ Tích các giá trị của m để diện tích hai hình phẳng ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ (như hình vẽ)
A. $-\dfrac{1}{4}.$
B. 1
C. $\dfrac{3}{2}.$
D. 9.
A. $-\dfrac{1}{4}.$
B. 1
C. $\dfrac{3}{2}.$
D. 9.
Phương trình hoành độ giao điểm
${{x}^{3}}-3x+2=m\left( x+2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để d và (C) giới hạn 2 hình phẳng thì (*) có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<m\ne 9$
Nếu $m=1,d$ đi qua điểm uốn $\left( 0;2 \right)$ của (C). Khi đó ${{S}_{1}}={{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)dx}=4$
Nếu $0<m<1:{{S}_{1}}>4>{{S}_{2}}$
Nếu $1<m<9:{{S}_{1}}<4<{{S}_{2}}$
Nếu $m>9\Rightarrow 1-\sqrt{m}<-2;1+\sqrt{m}>4$ khi đó
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{1-\sqrt{m}}^{-2}{\left| {{x}^{3}}-3x+2-m\left( x+2 \right) \right|dx} \\
& {{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{1+\sqrt{m}}{\left| {{x}^{3}}-3x+2-m\left( x+2 \right) \right|dx} \\
& {{S}_{2}}-{{S}_{1}}=2m\sqrt{m}>0 \\
\end{aligned}$
Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{x}^{3}}-3x+2=m\left( x+2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để d và (C) giới hạn 2 hình phẳng thì (*) có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<m\ne 9$
Nếu $m=1,d$ đi qua điểm uốn $\left( 0;2 \right)$ của (C). Khi đó ${{S}_{1}}={{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)dx}=4$
Nếu $0<m<1:{{S}_{1}}>4>{{S}_{2}}$
Nếu $1<m<9:{{S}_{1}}<4<{{S}_{2}}$
Nếu $m>9\Rightarrow 1-\sqrt{m}<-2;1+\sqrt{m}>4$ khi đó
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{1-\sqrt{m}}^{-2}{\left| {{x}^{3}}-3x+2-m\left( x+2 \right) \right|dx} \\
& {{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{1+\sqrt{m}}{\left| {{x}^{3}}-3x+2-m\left( x+2 \right) \right|dx} \\
& {{S}_{2}}-{{S}_{1}}=2m\sqrt{m}>0 \\
\end{aligned}$
Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.