Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2\left( C \right)$. Biết rằng đường thẳng $d:y=mx+1$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C.$ Tiếp tuyến tại ba điểm $A,B,C$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại các điểm ${A}',{B}',{C}'$ (tương ứng khác $A,B,C$ ). Biết rằng ${A}',{B}',{C}'$ thẳng hàng, tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng đi qua ba điểm ${A}',{B}',{C}'$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :x+2019y-2020=0.$
A. $m=\dfrac{1005}{2}.$
B. $m=\dfrac{1009}{4}.$
C. $m=\dfrac{2009}{4}.$
D. $m=\dfrac{2019}{4}.$
A. $m=\dfrac{1005}{2}.$
B. $m=\dfrac{1009}{4}.$
C. $m=\dfrac{2009}{4}.$
D. $m=\dfrac{2019}{4}.$
Tập xác định: $\mathbb{R}$, ${y}'=3{{x}^{2}}-3.$
Giả sử $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right).$
Ta có phương trình tiếp tuyến tại $A$ của đồ thị $\left( C \right)$ là:
${{\Delta }_{1}}:y=\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{\Delta }_{1}}$ và $\left( C \right)$ :
$\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2={{x}^{3}}-3x+2$
$\Leftrightarrow \left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+3\left( x-{{x}_{1}} \right)-\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}^{2}}+x{{x}_{1}}+x_{1}^{2} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{1}} \right)\left( 2x_{1}^{2}-x{{x}_{1}}-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( 2{{x}_{1}}+x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x=-2{{x}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${A}'\left( -2{{x}_{1}};-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}+2 \right)$.
Lại có $-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}+2=-8\left( x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2 \right)-18{{x}_{1}}+18=-8{{y}_{1}}-18{{x}_{1}}+18$
$=-8\left( m{{x}_{1}}+1 \right)-18{{x}_{1}}+18=-2{{x}_{1}}\left( 4m+9 \right)+10$
$\Rightarrow {{y}_{{{A}'}}}=\left( 4m+9 \right){{x}_{{{A}'}}}+10$. Tương tự ra có ${{y}_{{{B}'}}}=\left( 4m+9 \right){{x}_{{{B}'}}}+10$
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm ${A}',{B}',{C}'$ là
Giả sử $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right).$
Ta có phương trình tiếp tuyến tại $A$ của đồ thị $\left( C \right)$ là:
${{\Delta }_{1}}:y=\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{\Delta }_{1}}$ và $\left( C \right)$ :
$\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2={{x}^{3}}-3x+2$
$\Leftrightarrow \left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+3\left( x-{{x}_{1}} \right)-\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}^{2}}+x{{x}_{1}}+x_{1}^{2} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-{{x}_{1}} \right)\left( 2x_{1}^{2}-x{{x}_{1}}-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( 2{{x}_{1}}+x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x=-2{{x}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${A}'\left( -2{{x}_{1}};-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}+2 \right)$.
Lại có $-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}+2=-8\left( x_{1}^{3}-3{{x}_{1}}+2 \right)-18{{x}_{1}}+18=-8{{y}_{1}}-18{{x}_{1}}+18$
$=-8\left( m{{x}_{1}}+1 \right)-18{{x}_{1}}+18=-2{{x}_{1}}\left( 4m+9 \right)+10$
$\Rightarrow {{y}_{{{A}'}}}=\left( 4m+9 \right){{x}_{{{A}'}}}+10$. Tương tự ra có ${{y}_{{{B}'}}}=\left( 4m+9 \right){{x}_{{{B}'}}}+10$
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm ${A}',{B}',{C}'$ là
${{\Delta }_{2}}:y=\left( 4m+9 \right)x+10.$
Theo đề bài $\Delta \bot {{\Delta }_{2}}$ nên $\left( 4m+9 \right)\left( -\dfrac{1}{2019} \right)=-1\Leftrightarrow m=\dfrac{1005}{2}$ (thỏa mãn).Đáp án A.