Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1 \left( C \right)$. Biết rằng tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tan giác cân. Gọi S là tập các giá trị của k thỏa mãn điều kiện trên, tính tổng các phần tử của S.
A. 3
B. 9
C. 12
D. 0
A. 3
B. 9
C. 12
D. 0
Cách 1: Tập xác định $\mathbb{R}, {y}'=3{{x}^{2}}-3$
Theo bài ra ta có phương trình $3{{x}^{2}}-3=k$ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó $k>-3 (*)$
Gọi ${{x}_{1}}; {{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình (1), $M3\left( {{x}_{1}}; {{y}_{1}} \right); N\left( {{x}_{2}}; {{y}_{2}} \right)\in \left( C \right)$
Ta có: ${{y}_{1}}=x_{1}^{3}-3x+1=\dfrac{{{x}_{1}}}{3}\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)-2{{x}_{1}}+1=\dfrac{k}{3}{{x}_{1}}-2{{x}_{1}}+1=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right){{x}_{1}}+1$
Tương tự: ${{y}_{2}}=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right){{x}_{2}}$
Do đó phương trình MN là: $y=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right)x+1\left( d \right)$
Vì (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân nên d có hệ số góc bằng 1 hoặc -1
+) $\dfrac{k}{3}-2=1\Leftrightarrow k=9$ (thỏa mãn (*))
+) $\dfrac{k}{3}-2=-1\Leftrightarrow k=3$ (thỏa mãn(*))
Vậy tổng các phần tử của S là 12.
Cách 2: Ta có ${y}''=6x, {y}''=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow \left( C \right)$ có điểm uốn $I\left( 0; 1 \right)$
Trường hợp 1: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng 1 và đi qua I
=> Phương trình MN: $y=x+1$
=> Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:
${{x}^{3}}-3x+1=x+1\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (l) \\
& x=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k={y}'\left( 2 \right)={y}'\left( -2 \right)=9$
Trường hợp 2: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng -1 và đi qua I
=> Phương trình MN: $y=-x+1$
=> Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:
${{x}^{3}}-3x+1=-x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (l) \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k={y}'\left( \sqrt{2} \right)={y}'\left( -\sqrt{2} \right)=3$
Vậy tổng cách phần tử của S bằng 12
Theo bài ra ta có phương trình $3{{x}^{2}}-3=k$ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó $k>-3 (*)$
Gọi ${{x}_{1}}; {{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình (1), $M3\left( {{x}_{1}}; {{y}_{1}} \right); N\left( {{x}_{2}}; {{y}_{2}} \right)\in \left( C \right)$
Ta có: ${{y}_{1}}=x_{1}^{3}-3x+1=\dfrac{{{x}_{1}}}{3}\left( 3x_{1}^{2}-3 \right)-2{{x}_{1}}+1=\dfrac{k}{3}{{x}_{1}}-2{{x}_{1}}+1=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right){{x}_{1}}+1$
Tương tự: ${{y}_{2}}=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right){{x}_{2}}$
Do đó phương trình MN là: $y=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right)x+1\left( d \right)$
Vì (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân nên d có hệ số góc bằng 1 hoặc -1
+) $\dfrac{k}{3}-2=1\Leftrightarrow k=9$ (thỏa mãn (*))
+) $\dfrac{k}{3}-2=-1\Leftrightarrow k=3$ (thỏa mãn(*))
Vậy tổng các phần tử của S là 12.
Cách 2: Ta có ${y}''=6x, {y}''=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow \left( C \right)$ có điểm uốn $I\left( 0; 1 \right)$
Trường hợp 1: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng 1 và đi qua I
=> Phương trình MN: $y=x+1$
=> Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:
${{x}^{3}}-3x+1=x+1\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (l) \\
& x=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k={y}'\left( 2 \right)={y}'\left( -2 \right)=9$
Trường hợp 2: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng -1 và đi qua I
=> Phương trình MN: $y=-x+1$
=> Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:
${{x}^{3}}-3x+1=-x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (l) \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k={y}'\left( \sqrt{2} \right)={y}'\left( -\sqrt{2} \right)=3$
Vậy tổng cách phần tử của S bằng 12
Đáp án C.