Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}-m$ ( $m$ là tham số). Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và $I\left( 2,-2 \right)$. Tổng tất cả các giá trị của $m$ để ba điểm $I,A,B$ tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$ là
A. $\dfrac{20}{17}$.
B. $-\dfrac{2}{17}$.
C. $\dfrac{4}{17}$.
D. $\dfrac{14}{17}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$
$\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1,y=-2-4m \\
& x=m-1,y=2-4m \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $A\left( m-1;2-4m \right);B\left( m+1;-2-4m \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2,-4 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}$
$\overrightarrow{IA}=\left( m-3;4-4m \right),\overrightarrow{IB}=\left( m-1,-4m \right)$
Dễ thấy $AB=2R$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có đường kính $AB$
$\Leftrightarrow IA\bot IB\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0\Leftrightarrow \left( m-3 \right)\left( m-1 \right)+\left( 4-4m \right)\left( -4m \right)=0$
$\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-20m+3=0$
$\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=\dfrac{20}{17}$.
A. $\dfrac{20}{17}$.
B. $-\dfrac{2}{17}$.
C. $\dfrac{4}{17}$.
D. $\dfrac{14}{17}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$
$\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1,y=-2-4m \\
& x=m-1,y=2-4m \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $A\left( m-1;2-4m \right);B\left( m+1;-2-4m \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2,-4 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}$
$\overrightarrow{IA}=\left( m-3;4-4m \right),\overrightarrow{IB}=\left( m-1,-4m \right)$
Dễ thấy $AB=2R$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có đường kính $AB$
$\Leftrightarrow IA\bot IB\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0\Leftrightarrow \left( m-3 \right)\left( m-1 \right)+\left( 4-4m \right)\left( -4m \right)=0$
$\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-20m+3=0$
$\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=\dfrac{20}{17}$.
Đáp án A.