Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+2020$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
A. $3$.
B. $1$.
C. vô số.
D. $2$.
A. $3$.
B. $1$.
C. vô số.
D. $2$.
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow x=m\pm 1$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& f\left( m+1 \right)<f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1>0 \\
& {{\left( m+1 \right)}^{3}}-3m{{\left( m+1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)+2020<2020 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-1 \\
& -2{{m}^{2}}-2<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m>-1$.
Vậy có vô số giá tri nguyên $m$.
${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow x=m\pm 1$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên để hàm số có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& f\left( m+1 \right)<f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1>0 \\
& {{\left( m+1 \right)}^{3}}-3m{{\left( m+1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)+2020<2020 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-1 \\
& -2{{m}^{2}}-2<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m>-1$.
Vậy có vô số giá tri nguyên $m$.
Đáp án C.