Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m$ . Có tất cả bao nhiêu...

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m=0\left( * \right)$ có ba nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành CSC.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3m \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3{{x}_{2}}=3m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=m\xrightarrow{\left( * \right)}-2{{m}^{3}}+2m=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=0\xrightarrow{\left( * \right)}{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0$ (loại).
Với $m=1\xrightarrow{\left( * \right)}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1+\sqrt{3} \\
& x=1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (Thỏa mãn).
Với $m=-1\xrightarrow{\left( * \right)}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-1+\sqrt{3} \\
& x=-1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (Thỏa mãn).