Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m.$ Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm. Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- Áp dụng tính chất CSC: Nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC thì $a+c=2b$
- Sử dụng định lý Viet của phương trình bậc ba $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0\left( a\ne 0 \right)$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\dfrac{b}{a}$
- Tìm ${{x}_{2}}$ theo m, thay nghiệm ${{x}_{2}}$ vào phương trình ban đầu tìm m
- Thử lại các giá trị m tìm được.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m=0\left( * \right)$
Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Theo tính chất của CSC ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$
Áp dụng định lý Viet ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3m\Rightarrow 3{{x}_{2}}=3m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=m$
Vì ${{x}_{2}}=m$ là 1 nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
${{m}^{3}}-3m.{{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow -2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow 2m\left( -m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
+ Với $m=0$ phương trình trở thành ${{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0$ (loại)
+ Với $m=1$ phương trình trở thành ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1-\sqrt{3} \\
& {{x}_{2}}=1 \\
& {{x}_{3}}=1+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC
Vậy có duy nhất 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=1$
Chú ý: Sau khi tìm được m ta thử lại xem với giá trị m đó, phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn lập thành CSC hay không, vì ban đầu chúng ta chỉ giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt chứ chưa tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
- Xét phương trình hoành độ giao điểm. Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- Áp dụng tính chất CSC: Nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC thì $a+c=2b$
- Sử dụng định lý Viet của phương trình bậc ba $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0\left( a\ne 0 \right)$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\dfrac{b}{a}$
- Tìm ${{x}_{2}}$ theo m, thay nghiệm ${{x}_{2}}$ vào phương trình ban đầu tìm m
- Thử lại các giá trị m tìm được.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m=0\left( * \right)$
Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Theo tính chất của CSC ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$
Áp dụng định lý Viet ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3m\Rightarrow 3{{x}_{2}}=3m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=m$
Vì ${{x}_{2}}=m$ là 1 nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
${{m}^{3}}-3m.{{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow -2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow 2m\left( -m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
+ Với $m=0$ phương trình trở thành ${{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0$ (loại)
+ Với $m=1$ phương trình trở thành ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1-\sqrt{3} \\
& {{x}_{2}}=1 \\
& {{x}_{3}}=1+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC
Vậy có duy nhất 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=1$
Chú ý: Sau khi tìm được m ta thử lại xem với giá trị m đó, phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn lập thành CSC hay không, vì ban đầu chúng ta chỉ giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt chứ chưa tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Đáp án A.