Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m.$ Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có...

Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm. Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- Áp dụng tính chất CSC: Nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC thì
- Sử dụng định lý Viet của phương trình bậc ba có 3 nghiệm thì
- Tìm theo m, thay nghiệm vào phương trình ban đầu tìm m
- Thử lại các giá trị m tìm được.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Theo tính chất của CSC ta có:
Áp dụng định lý Viet ta có:
Vì là 1 nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

Thử lại:
+ Với phương trình trở thành (loại)
+ Với phương trình trở thành và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC
Vậy có duy nhất 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Chú ý: Sau khi tìm được m ta thử lại xem với giá trị m đó, phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn lập thành CSC hay không, vì ban đầu chúng ta chỉ giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt chứ chưa tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.