Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1...

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3{{m}^{2}}-3=3\left[ {{\left( x-m \right)}^{2}}-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1 \\
& x=m-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, hàm số luôn có hai cực trị với mọi m.
Giả sử $A\left( m+1;-4m-2 \right);B\left( m-1;-4m+2 \right)$. Ta có $AB=2\sqrt{5},\forall m\in \mathbb{R}$.
Mặt khác, vì $\Delta IAB$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\sqrt{5}$ nên từ $\dfrac{AB}{\sin \widehat{AIB}}=2\text{R}$
suy ra $\sin \widehat{AIB}=\dfrac{AB}{2\text{R}}=1\Rightarrow \widehat{AIB}=90{}^\circ $ hay $\Delta IAB$ vuông tại I.
Gọi M là trung điểm AB, ta có $M\left( m;-4m \right)$ và $IM=\dfrac{1}{2}AB\Leftrightarrow I{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=5$
$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}+{{\left( -4m+2 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-20m+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{3}{17} \\
\end{aligned} \right.$.
Tổng tất cả các số m bằng $1+\dfrac{3}{17}=\dfrac{20}{17}$.