Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-1...

Ta có: $y^{\prime }=3{\text{x}}^2-6m\text{x}+3(m^2-1);\text{ {y}'}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=m+1\Rightarrow y=-4m-2\\ & x=m-1\Rightarrow y=-4m+2\end{array}$
$\Rightarrow A(m+1;-4m-2)$ là điểm cực tiểu, $B(m-1;-4m+2)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Dễ thấy $AB=2\sqrt{5}=2R$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay tam giác IAB vuông tại I.
Có $\overrightarrow{IA}=(1-m;4m),\overrightarrow{IB}=(3-m;-4+4m)$ nên $IA\mathrm{\perp }IB\iff \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$.
$\iff (1-m)(3-m)+4m(-4+4m)=0\iff m^2-4m+3-16m+16m^2=0$
$\iff 17m^2-20m+3=0\iff [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m={\displaystyle \frac{3}{17}}\end{array}$.
Vậy tổng các giá trị của m là $1+{\displaystyle \frac{3}{17}}={\displaystyle \frac{20}{17}}$.