Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}-m$ (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $I\left( 2;-2 \right)$. Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$ là
A. $\dfrac{20}{17}$
B. $-\dfrac{2}{17}$
C. $\dfrac{4}{17}$
D. $\dfrac{14}{17}$
A. $\dfrac{20}{17}$
B. $-\dfrac{2}{17}$
C. $\dfrac{4}{17}$
D. $\dfrac{14}{17}$
Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6m\text{x}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right);\text{ {y}'}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1\Rightarrow y=-4m-2 \\
& x=m-1\Rightarrow y=-4m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( m+1;-4m-2 \right)$ là điểm cực tiểu, $B\left( m-1;-4m+2 \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Dễ thấy $AB=2\sqrt{5}=2R$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay tam giác IAB vuông tại I.
Có $\overrightarrow{IA}=\left( 1-m;4m \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-m;-4+4m \right)$ nên $IA\bot IB\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$.
$\Leftrightarrow \left( 1-m \right)\left( 3-m \right)+4m\left( -4+4m \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3-16m+16{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-20m+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{3}{17} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các giá trị của m là $1+\dfrac{3}{17}=\dfrac{20}{17}$.
& x=m+1\Rightarrow y=-4m-2 \\
& x=m-1\Rightarrow y=-4m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( m+1;-4m-2 \right)$ là điểm cực tiểu, $B\left( m-1;-4m+2 \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Dễ thấy $AB=2\sqrt{5}=2R$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay tam giác IAB vuông tại I.
Có $\overrightarrow{IA}=\left( 1-m;4m \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-m;-4+4m \right)$ nên $IA\bot IB\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$.
$\Leftrightarrow \left( 1-m \right)\left( 3-m \right)+4m\left( -4+4m \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3-16m+16{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-20m+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{3}{17} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các giá trị của m là $1+\dfrac{3}{17}=\dfrac{20}{17}$.
Đáp án A.