Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-2 \right)x+{{m}^{2}}$ $\left( {{C}_{m}} \right)$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $A,B,C\left( {{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}} \right)$ và có hai điểm cực trị $M,N$. Số các giá trị của tham số $m$ để $MN=AC$ là
A. $1$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $3$
A. $1$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $3$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{m}} \right)$ và trục $Ox$ là: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-2 \right)x+{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x-{{m}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1\pm \sqrt{1+{{m}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt $A\left( 1-\sqrt{1+{{m}^{2}}};0 \right),B\left( 1;0 \right),C\left( 1+\sqrt{1+{{m}^{2}}};0 \right)$ và $AC=2\sqrt{1+{{m}^{2}}}$.
Ta có, ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2$, ${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2=0\left( 1 \right)$, phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có $2$ nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ với mọi giá trị của tham số $m$. Áp dung định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{-{{m}^{2}}+2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi hai điểm cực trị là $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị $M,N$ là $y=-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+\dfrac{2{{m}^{2}}+2}{3}$.
Nên ta có $MN=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 1+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}$
$=\sqrt{\left( 1+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right)\left( 4-\dfrac{4}{3}\left( 2-{{m}^{2}} \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}}$
Theo giả thiết $MN=AC$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}}=2\sqrt{1+{{m}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}=4\left( 1+{{m}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}=4\left( 1+{{m}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2}$
$\Leftrightarrow 1+{{m}^{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{3}{\sqrt{2}}-1}$.
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x-{{m}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1\pm \sqrt{1+{{m}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt $A\left( 1-\sqrt{1+{{m}^{2}}};0 \right),B\left( 1;0 \right),C\left( 1+\sqrt{1+{{m}^{2}}};0 \right)$ và $AC=2\sqrt{1+{{m}^{2}}}$.
Ta có, ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2$, ${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2=0\left( 1 \right)$, phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có $2$ nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ với mọi giá trị của tham số $m$. Áp dung định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{-{{m}^{2}}+2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi hai điểm cực trị là $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị $M,N$ là $y=-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+\dfrac{2{{m}^{2}}+2}{3}$.
Nên ta có $MN=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 1+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}$
$=\sqrt{\left( 1+\dfrac{4}{9}{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right)\left( 4-\dfrac{4}{3}\left( 2-{{m}^{2}} \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}}$
Theo giả thiết $MN=AC$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}}=2\sqrt{1+{{m}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}=4\left( 1+{{m}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\left( 1+{{m}^{2}} \right)+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{3}}=4\left( 1+{{m}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{27}{{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( 1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2}$
$\Leftrightarrow 1+{{m}^{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{3}{\sqrt{2}}-1}$.
Đáp án B.