Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+1$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=x+1$ cắt đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ba điểm phân biệt $P\left( 0;1 \right),M,N$ sao cho tam giác $OMN$ vuông tại $O$, với $O$ là gốc tọa độ.
A. $m=-2$.
B. $m=-6$.
C. $m=-3$.
D. $m=-\dfrac{7}{2}$.
A. $m=-2$.
B. $m=-6$.
C. $m=-3$.
D. $m=-\dfrac{7}{2}$.
Hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{m}} \right)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+1=x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx=0 \left( * \right)$
$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-3x+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{2}}-3x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 0-3.0+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-4m>0 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\ne m<\dfrac{9}{4}$.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-3x+m=0$.
Theo hệ thức Viet $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ $M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+1 \right),N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+1 \right)$. Khi đó tam giác $OMN$ vuông tại $O$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=0$.
$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=0\Leftrightarrow 3+2m+1=0\Leftrightarrow m=2$.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+1=x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx=0 \left( * \right)$
$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-3x+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{2}}-3x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 0-3.0+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 9-4m>0 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\ne m<\dfrac{9}{4}$.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-3x+m=0$.
Theo hệ thức Viet $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ $M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+1 \right),N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+1 \right)$. Khi đó tam giác $OMN$ vuông tại $O$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=0$.
$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=0\Leftrightarrow 3+2m+1=0\Leftrightarrow m=2$.
Đáp án A.