Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $M\left( m;0 \right)$ sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right).$
B. $m\in \left( -\dfrac{1}{2};0 \right).$
C. $m\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
D. $m\in \left( -1;-\dfrac{1}{2} \right).$
A. $m\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right).$
B. $m\in \left( -\dfrac{1}{2};0 \right).$
C. $m\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
D. $m\in \left( -1;-\dfrac{1}{2} \right).$
Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x.$
Gọi $A\left( a;{{a}^{3}}+3{{a}^{2}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại A là: $y=\left( 3{{a}^{2}}+6a \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}.$
$\begin{aligned}
& M\left( m;0 \right)\in d\Leftrightarrow \left( 3{{a}^{2}}+6a \right)\left( m-a \right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{a}^{3}}-3\left( m-1 \right){{a}^{2}}-6ma=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
2{{a}^{2}}-3\left( m-1 \right)a-6m=0\text{ }\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right. \\
\end{aligned}$
Khi $a=0$ ta có phương tình tiếp tuyến $y=0$
Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với $y=0$ nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình ( 1) có hai nghiệm ${{a}_{1}}$ và ${{a}_{2}}$ khác 0 thỏa
$\begin{aligned}
& y'\left( {{a}_{1}} \right).y'\left( {{a}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3{{a}_{1}}^{2}+6{{a}_{1}} \right)\left( 3{{a}_{2}}^{2}+6{{a}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow 9{{a}_{1}}.{{a}_{2}}\left[ {{a}_{1}}.{{a}_{2}}+2\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)+4 \right]+1=0 \\
& \Leftrightarrow 9\left( -3m \right)\left[ -3m+3\left( m-1 \right)+4 \right]+1=0\Leftrightarrow -27m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{27}. \\
\end{aligned}$
Thay $m=\dfrac{1}{27}$ vào (1) thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Gọi $A\left( a;{{a}^{3}}+3{{a}^{2}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại A là: $y=\left( 3{{a}^{2}}+6a \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}.$
$\begin{aligned}
& M\left( m;0 \right)\in d\Leftrightarrow \left( 3{{a}^{2}}+6a \right)\left( m-a \right)+{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{a}^{3}}-3\left( m-1 \right){{a}^{2}}-6ma=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
2{{a}^{2}}-3\left( m-1 \right)a-6m=0\text{ }\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right. \\
\end{aligned}$
Khi $a=0$ ta có phương tình tiếp tuyến $y=0$
Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với $y=0$ nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình ( 1) có hai nghiệm ${{a}_{1}}$ và ${{a}_{2}}$ khác 0 thỏa
$\begin{aligned}
& y'\left( {{a}_{1}} \right).y'\left( {{a}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3{{a}_{1}}^{2}+6{{a}_{1}} \right)\left( 3{{a}_{2}}^{2}+6{{a}_{2}} \right)=-1\Leftrightarrow 9{{a}_{1}}.{{a}_{2}}\left[ {{a}_{1}}.{{a}_{2}}+2\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)+4 \right]+1=0 \\
& \Leftrightarrow 9\left( -3m \right)\left[ -3m+3\left( m-1 \right)+4 \right]+1=0\Leftrightarrow -27m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{27}. \\
\end{aligned}$
Thay $m=\dfrac{1}{27}$ vào (1) thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Đáp án C.