Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+1$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Số tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=4x+5$ của đồ thị hàm số là
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x+4$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến $y\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}+4$.
Theo đề bài, ta có $3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}+4=4\Leftrightarrow x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=1 \\
& {{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $M\left( 0;1 \right)$, phương tình tiếp tuyến là $y=4x+1$ (nhận).
Với $M\left( -2;-3 \right)$, phương trình tiếp tuyến là $y=4x+5$ (loại).
Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $d:y=4x+5$.
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x+4$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến $y\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}+4$.
Theo đề bài, ta có $3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}+4=4\Leftrightarrow x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=1 \\
& {{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $M\left( 0;1 \right)$, phương tình tiếp tuyến là $y=4x+1$ (nhận).
Với $M\left( -2;-3 \right)$, phương trình tiếp tuyến là $y=4x+5$ (loại).
Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $d:y=4x+5$.
Đáp án D.