Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ có đồ thị (C), đường thẳng $\left( d \right):y=m(x+1)$ với m là tham số, đường thẳng $\left( \Delta \right):x+y-9=0$. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điếm phân biệt A, B, C sao cho A, B, C cùng phía với ( $\Delta $ ) và $d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)=6\sqrt{2}$. Tổng các phần tử của S bằng.
A. 14.
B. 8.
C. 6.
D. 2.
A. 14.
B. 8.
C. 6.
D. 2.
Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=m\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x-m+4=0 \\
\end{aligned} \right.$
(d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=m>0 \\
& f\left( -1 \right)=9-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne 9 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi G là trọng tâm của ABC
Ta có ${{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\dfrac{-1+4}{3}=1,{{y}_{c}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\dfrac{m\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}}+2 \right)}{3}=2m$
Ta có: $d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)=3d\left( G,\Delta \right)$.
Suy ra: $d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)=6\sqrt{2}\Leftrightarrow d\left( G,\Delta \right)=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-8 \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
$\Leftrightarrow \left| 2m-8 \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=6 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại thấy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán, $m=6$ không thỏa mãn điều kiện.
Cách 2: Ta có ${{x}_{A}}+{{y}_{A}}-9=-1-9<0$ nên ${{x}_{B}}+{{y}_{B}}-9<0;{{x}_{C}}+{{y}_{C}}-9<0$
Mặt khác $d\left( A;\Delta \right)=\dfrac{\left| -1-9 \right|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\Rightarrow d\left( B;\Delta \right)+d\left( C;\Delta \right)=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{x}_{B}}+{{y}_{B}}-9 \right|}{\sqrt{2}}+\dfrac{\left| {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-9 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow 18-\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)-\left( {{y}_{B}}+{{y}_{C}} \right)=2$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)+m\left[ \left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)+2 \right]=16$
Do đó $4+6m=16\Leftrightarrow m=2$.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=m\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x-m+4=0 \\
\end{aligned} \right.$
(d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=m>0 \\
& f\left( -1 \right)=9-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne 9 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi G là trọng tâm của ABC
Ta có ${{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\dfrac{-1+4}{3}=1,{{y}_{c}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\dfrac{m\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}}+2 \right)}{3}=2m$
Ta có: $d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)=3d\left( G,\Delta \right)$.
Suy ra: $d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)=6\sqrt{2}\Leftrightarrow d\left( G,\Delta \right)=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-8 \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
$\Leftrightarrow \left| 2m-8 \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=6 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại thấy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán, $m=6$ không thỏa mãn điều kiện.
Cách 2: Ta có ${{x}_{A}}+{{y}_{A}}-9=-1-9<0$ nên ${{x}_{B}}+{{y}_{B}}-9<0;{{x}_{C}}+{{y}_{C}}-9<0$
Mặt khác $d\left( A;\Delta \right)=\dfrac{\left| -1-9 \right|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\Rightarrow d\left( B;\Delta \right)+d\left( C;\Delta \right)=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{x}_{B}}+{{y}_{B}}-9 \right|}{\sqrt{2}}+\dfrac{\left| {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-9 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow 18-\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)-\left( {{y}_{B}}+{{y}_{C}} \right)=2$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)+m\left[ \left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)+2 \right]=16$
Do đó $4+6m=16\Leftrightarrow m=2$.
Đáp án D.