Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có đồ thị (C) và điểm M(m...

Tập xác định $\mathbb{R}$. Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x$
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng
$y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2$.
Tiếp tuyến qua M(m; -2), ta có
$\begin{aligned}
& -2=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( m-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2\Leftrightarrow -2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}\left( 1+m \right)-6m{{x}_{0}}+4=0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-2 \right)\left[ -2x_{0}^{2}+\left( 3m-1 \right){{x}_{0}}-2 \right]=0\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}-2=0 \\
& -2x_{0}^{2}+\left( 3m-1 \right){{x}_{0}}-2=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến (C) khi phương trình (1) có đúng nghiệm hai phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm kép khác 2 hoặc phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
- Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép khác 2.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =0 \\
& \dfrac{3m-1}{4}\ne 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{5}{3} \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{5}{3} \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right..$
- Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& -2.4+2\left( 3m-1 \right)-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-1 \\
& m>\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2.$
Vậy $S=\left\{ \dfrac{5}{3};2;-1 \right\}$.