Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị (C). Gọi A, B là...

Hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x$
${y}''=6x+6=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=3\Rightarrow I\left( -1; 3 \right)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B có hệ số góc k.
Khi đó hoành độ của A, B là hai nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ của phương trình
$3{{x}^{2}}+6x=k\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-k=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k>-3 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\dfrac{k}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$A, B\in \left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( {{x}_{1}}; x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}+1 \right) \\
& B\left( {{x}_{2}}; x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}}; \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( \dfrac{k}{3}-2 \right) \right)$
Vì ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ nên phương trình đường thẳng AB có hệ số góc là $\left( \dfrac{k}{3}-2 \right)$
Do tính đối xứng của hàm bậc 3 nên đường thẳng AB đi qua tâm đối xứng $I\left( -1; 3 \right)$ của đồ thị hàm só.
Phương trình đường thẳng AB: $y=\left( \dfrac{k}{3}-2 \right)x+\dfrac{k}{3}+1$
Khi đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2{{\left( \dfrac{k}{3} \right)}^{2}}-2\dfrac{k}{3}+5=2{{\left( \dfrac{k}{3}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}\ge \dfrac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $k=\dfrac{3}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ bằng $\dfrac{9}{2}$