Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$ có đồ thị $\left( C...

Gọi $A\left( a;{{a}^{3}}-3{{\text{a}}^{2}} \right)\in \left( C \right)$
Ta có ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:
$y=\left( 3{{\text{a}}^{2}}-6\text{a} \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-3{{\text{a}}^{2}}$ $\left( d \right)$
Để d đi qua điểm $M\left( m;-4 \right)$ thì: $-4=\left( 3{{\text{a}}^{2}}-6\text{a} \right)\left( m-a \right)+{{a}^{3}}-3{{\text{a}}^{2}}$.
$\Leftrightarrow \left( {{a}^{3}}-3{{\text{a}}^{2}}+4 \right)+3\text{a}\left( a-2 \right)\left( m-a \right)=0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( {{a}^{2}}-a-2 \right)+\left( a-2 \right)\left( 3ma-3{{\text{a}}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left[ -2{{\text{a}}^{2}}+\left( 3m-1 \right)a-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=2 \\
& g\left( a \right)=2{{\text{a}}^{2}}-\left( 3m-1 \right)a+2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến $\left( C \right)\Leftrightarrow g\left( a \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}-16>0 \\
& g\left( 2 \right)=12-6m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& 3m-1>4 \\
& 3m-1<-4 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{3} \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -10;10 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 17 giá trị của m.