Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}+5$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả những giá trị nguyên của $k\in \left[ -2020;2020 \right]$ để trên đồ thị $(C)$ có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $(d):y=(k-6)x$.
A. 4041
B. 2025
C. 2026
D. 2027
A. 4041
B. 2025
C. 2026
D. 2027
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+3$.
Trường hợp 1: Nếu $k=6$ thì $(d):y=0$
$\Rightarrow $ Không tồn tại tiếp tuyến vuông góc với $(d)$.
Trường hợp 2: Nếu $k\ne 6$ thì theo giả thiết ta có:
$(k-6)(3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}}+3)=-1\Leftrightarrow 3\text{x}_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3+\dfrac{1}{k-6}=0$ (*)
Theo yêu cầu bài toán, phương trình (*) có nghiệm.
Do đó ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{-3}{k-6}\ge 0\Leftrightarrow k<6$
Vậy $k\in \left\{ -2020;-2018;...;3;4;5 \right\}\Rightarrow $ Có 2026 giá trị nguyên của k thỏa đề bài.
Trường hợp 1: Nếu $k=6$ thì $(d):y=0$
$\Rightarrow $ Không tồn tại tiếp tuyến vuông góc với $(d)$.
Trường hợp 2: Nếu $k\ne 6$ thì theo giả thiết ta có:
$(k-6)(3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}}+3)=-1\Leftrightarrow 3\text{x}_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3+\dfrac{1}{k-6}=0$ (*)
Theo yêu cầu bài toán, phương trình (*) có nghiệm.
Do đó ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{-3}{k-6}\ge 0\Leftrightarrow k<6$
Vậy $k\in \left\{ -2020;-2018;...;3;4;5 \right\}\Rightarrow $ Có 2026 giá trị nguyên của k thỏa đề bài.
Đáp án C.