Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-12x+12$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( m;-4 \right).$ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng $\left( 2;5 \right)$ để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right).$ Tổng tất cả các phần tử nguyên của S bằng
A. 7
B. 9
C. 3
D. 4
A. 7
B. 9
C. 3
D. 4
HD: Gọi phương trình tiếp tuyến đi qua A là $y+4=k\left( x-m \right)\Leftrightarrow y=k\left( x-m \right)-4$
Vì d tiếp xúc với $\left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k=3{{x}^{2}}-12 \\
& {{x}^{3}}-12x+12=k\left( x-m \right)-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}^{3}}-12x+12=\left( 3{{x}^{2}}-12 \right)\left( x-m \right)-4$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-12x+16=\left( 3{{x}^{2}}-12 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \underbrace{2{{x}^{2}}-\left( 3m-4 \right)x-6m+8}_{f\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)\ne 0 \\
& \Delta ={{\left( 3m-4 \right)}^{2}}-8\left( 8-6m \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8-2\left( 3m-4 \right)-6m+8\ne 0 \\
& 9{{m}^{2}}+24m-48>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{4}{3} \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( 2;5 \right)\xrightarrow{{}}m=3;m=4.$ Vậy $\sum{m}=7.$
Vì d tiếp xúc với $\left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k=3{{x}^{2}}-12 \\
& {{x}^{3}}-12x+12=k\left( x-m \right)-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}^{3}}-12x+12=\left( 3{{x}^{2}}-12 \right)\left( x-m \right)-4$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-12x+16=\left( 3{{x}^{2}}-12 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \underbrace{2{{x}^{2}}-\left( 3m-4 \right)x-6m+8}_{f\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)\ne 0 \\
& \Delta ={{\left( 3m-4 \right)}^{2}}-8\left( 8-6m \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8-2\left( 3m-4 \right)-6m+8\ne 0 \\
& 9{{m}^{2}}+24m-48>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{4}{3} \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( 2;5 \right)\xrightarrow{{}}m=3;m=4.$ Vậy $\sum{m}=7.$
Đáp án A.