Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-11x$ có đồ thị là (C). Gọi M1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = - 2. Tiếp tuyến của (C) tại M1 cắt (C) tại điểm M2 khác M1, tiếp tuyến của (C) tại M2 cắt (C) tại điểm M3 khác M2, M1, tiếp tuyến của (C) tại Mn-1, cắt (C) tại điểm Mn khác Mn-1 ( $n\in \mathbb{N},n\ge 4$ ). Gọi (xn; yn) là tọa độ của điểm Mn. Tìm n sao cho 11xn + yn +22019 = 0.
A. n = 675.
B. n = 673.
C. n = 674.
D. n = 672.
A. n = 675.
B. n = 673.
C. n = 674.
D. n = 672.
y' = 3x2 - 11
Lấy ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-11{{x}_{0}} \right)\in \left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:
$y=\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-11{{x}_{0}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}-11x=\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-11{{x}_{0}} \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-x_{0}^{3} \right)-11\left( x-{{x}_{0}} \right)-\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}} \\
& x=-2{{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Cho M0 ≡ M1 (x1; y1) $\Rightarrow {{M}_{2}}\left( -2{{x}_{1}};{{\left( -2{{x}_{1}} \right)}^{3}}-11\left( -2{{x}_{1}} \right) \right)$.
Bằng cách lập luận tương tự ${{M}_{n}}\left( {{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}};{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}-11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right] \right)$
$\begin{aligned}
& 11{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{2}^{2019}}=0\Leftrightarrow 11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}} \right]+{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}-11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]+{{2}^{2019}}=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}=-{{2}^{2019}} \\
\end{aligned}$
Thay ${{x}_{1}}=-2$ suy ra ${{\left( -2 \right)}^{3n}}={{\left( -2 \right)}^{2019}}\Leftrightarrow 3n=2019\Leftrightarrow n=673$.
Lấy ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-11{{x}_{0}} \right)\in \left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:
$y=\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-11{{x}_{0}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}-11x=\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-11{{x}_{0}} \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-x_{0}^{3} \right)-11\left( x-{{x}_{0}} \right)-\left( 3x_{0}^{2}-11 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}} \\
& x=-2{{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Cho M0 ≡ M1 (x1; y1) $\Rightarrow {{M}_{2}}\left( -2{{x}_{1}};{{\left( -2{{x}_{1}} \right)}^{3}}-11\left( -2{{x}_{1}} \right) \right)$.
Bằng cách lập luận tương tự ${{M}_{n}}\left( {{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}};{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}-11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right] \right)$
$\begin{aligned}
& 11{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{2}^{2019}}=0\Leftrightarrow 11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}} \right]+{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}-11\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]+{{2}^{2019}}=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}}.{{x}_{1}} \right]}^{3}}=-{{2}^{2019}} \\
\end{aligned}$
Thay ${{x}_{1}}=-2$ suy ra ${{\left( -2 \right)}^{3n}}={{\left( -2 \right)}^{2019}}\Leftrightarrow 3n=2019\Leftrightarrow n=673$.
Note 82: Phương pháp chung
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $x={{x}_{0}}$ là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$Đáp án B.