Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$, biết rằng tồn tại hai điểm $A$, $B$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$, $B$ và đường thẳng pháp tuyến của hai tiếp tuyến đó tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và hai tiếp tuyến, $S{{}_{2}}$ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi các tiếp tuyến và pháp tuyến tại $A,B$. Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ ?
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{125}{768}$.
D. $\dfrac{125}{128}$.
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{125}{768}$.
D. $\dfrac{125}{128}$.
Đặt $A\left( a ; {{a}^{2}} \right)$ và $B\left( b ; {{b}^{2}} \right)$. Không mất tính tổng quát, ta xét $a>0$ và $b<0$
$\left( {{d}_{1}} \right)$ là đường tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ là đường tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $B$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( {{d}_{1}} \right):y=2ax-{{a}^{2}} \\
\left( {{d}_{2}} \right):y=2bx-{{b}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$
Do $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)$ nên
${{k}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}.{{k}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}=-1\Leftrightarrow \left( 2a \right).\left( 2b \right)=-1\Rightarrow b=\dfrac{-1}{4a}\Rightarrow B\left( \dfrac{-1}{4a} ; \dfrac{1}{16{{a}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \left( {{d}_{2}} \right):y=\dfrac{-x}{2a}-\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}$
${{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}$ tại $E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a} ; \dfrac{-1}{4} \right)$
$\Rightarrow $ chiều dài $D=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}$ và chiều rộng $R=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}$
Mà $D=2.R\Rightarrow a=1\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{128{{a}^{3}}}=\dfrac{125}{128}$ và suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-1 \\
& \left( {{d}_{2}} \right):y=\dfrac{-x}{2}-\dfrac{1}{16} \\
\end{aligned} \right.$
Với $a=1$ suy ra $E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a} ; \dfrac{-1}{4} \right)$ có tọa độ $E\left( \dfrac{3}{8};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Suy ra ${{S}_{1}}=\int\limits_{-\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{8}}{\left[ {{x}^{2}}-\left( \dfrac{-x}{2}-\dfrac{1}{16} \right) \right]}dx+\int\limits_{\dfrac{3}{8}}^{1}{\left[ {{x}^{2}}-\left( 2x-1 \right) \right]}dx=\dfrac{125}{768}$
Như vậy tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{125}{768}.\dfrac{128}{125}=\dfrac{128}{768}=\dfrac{1}{6}$
$\left( {{d}_{1}} \right)$ là đường tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ là đường tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $B$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( {{d}_{1}} \right):y=2ax-{{a}^{2}} \\
\left( {{d}_{2}} \right):y=2bx-{{b}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$
Do $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)$ nên
${{k}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}.{{k}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}=-1\Leftrightarrow \left( 2a \right).\left( 2b \right)=-1\Rightarrow b=\dfrac{-1}{4a}\Rightarrow B\left( \dfrac{-1}{4a} ; \dfrac{1}{16{{a}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow \left( {{d}_{2}} \right):y=\dfrac{-x}{2a}-\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}$
${{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}$ tại $E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a} ; \dfrac{-1}{4} \right)$
$\Rightarrow $ chiều dài $D=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}$ và chiều rộng $R=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}$
Mà $D=2.R\Rightarrow a=1\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{128{{a}^{3}}}=\dfrac{125}{128}$ và suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-1 \\
& \left( {{d}_{2}} \right):y=\dfrac{-x}{2}-\dfrac{1}{16} \\
\end{aligned} \right.$
Với $a=1$ suy ra $E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a} ; \dfrac{-1}{4} \right)$ có tọa độ $E\left( \dfrac{3}{8};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Suy ra ${{S}_{1}}=\int\limits_{-\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{8}}{\left[ {{x}^{2}}-\left( \dfrac{-x}{2}-\dfrac{1}{16} \right) \right]}dx+\int\limits_{\dfrac{3}{8}}^{1}{\left[ {{x}^{2}}-\left( 2x-1 \right) \right]}dx=\dfrac{125}{768}$
Như vậy tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{125}{768}.\dfrac{128}{125}=\dfrac{128}{768}=\dfrac{1}{6}$
Đáp án A.