Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, biết rằng tồn tại hai điền $A,B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $A,B$ và hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến tại $A,B$ tạo thành một hình chữ nhật $(H)$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng (minh họa như hình vẽ)
Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và hai tiế tuyến tại $A,B$. $S_2$ là diện tích hình chữ nhật $(H)$. Tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng
A. $\dfrac{125}{768}$.
B. $\dfrac{125}{128}$.
C. $\dfrac{1}{6}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
A. $\dfrac{125}{768}$.
B. $\dfrac{125}{128}$.
C. $\dfrac{1}{6}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Giả sử $A\left( a;{{a}^{2}} \right),B\left( b,{{b}^{2}} \right).$
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ là: ${{\Delta }_{1}}:y=2ax-{{a}^{2}}.$
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $B$ là: ${{\Delta }_{2}}:y=2bx-{{b}^{2}}.$
Ta có ${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Rightarrow 2a.2b=-1\Rightarrow b=\dfrac{-1}{4}a.$
${{\Delta }_{1}}\cap {{\Delta }_{2}}=E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a};-\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow BE=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}\text{,}\ AE=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}.$
$AE=2BE\Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}=2\cdot \dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow a=1\Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\Delta }_{1}}:y=2x-1 \\
{{\Delta }_{2}}:y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{16} \\
\end{array} \right.\Rightarrow E\left( \dfrac{3}{8};\dfrac{-1}{4} \right).$
Vậy ${{S}_{2}}=\dfrac{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{128{{a}^{3}}}=\dfrac{125}{128}.$
${{S}_{1}}=\int_{\dfrac{-1}{4}}^{3/8}{\left[ {{x}^{2}}-\left( -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{16} \right) \right]}dx+\int_{3/8}^{1}{\left[ {{x}^{2}}-(2x-1) \right]}dx=\dfrac{125}{768}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{1}{6}.$
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ là: ${{\Delta }_{1}}:y=2ax-{{a}^{2}}.$
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $B$ là: ${{\Delta }_{2}}:y=2bx-{{b}^{2}}.$
Ta có ${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Rightarrow 2a.2b=-1\Rightarrow b=\dfrac{-1}{4}a.$
${{\Delta }_{1}}\cap {{\Delta }_{2}}=E\left( \dfrac{4{{a}^{2}}-1}{8a};-\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow BE=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}\text{,}\ AE=\dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}.$
$AE=2BE\Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}=2\cdot \dfrac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow a=1\Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\Delta }_{1}}:y=2x-1 \\
{{\Delta }_{2}}:y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{16} \\
\end{array} \right.\Rightarrow E\left( \dfrac{3}{8};\dfrac{-1}{4} \right).$
Vậy ${{S}_{2}}=\dfrac{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{128{{a}^{3}}}=\dfrac{125}{128}.$
${{S}_{1}}=\int_{\dfrac{-1}{4}}^{3/8}{\left[ {{x}^{2}}-\left( -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{16} \right) \right]}dx+\int_{3/8}^{1}{\left[ {{x}^{2}}-(2x-1) \right]}dx=\dfrac{125}{768}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{1}{6}.$
Đáp án C.