Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{2}}-2018x$ có đồ thị là $\left( C \right).$ ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\in \left( C \right)$ có hoành độ bằng 1. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{M}_{1}}$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ khác ${{M}_{1}}.$ Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{M}_{2}}$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm ${{M}_{3}}\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)$ khác ${{M}_{2}}$ … Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{M}_{n-1}}$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm ${{M}_{n}}\left( {{x}_{n}};{{y}_{n}} \right)$ khác ${{M}_{n-1}}.$ Tính $\dfrac{{{y}_{2018}}}{{{x}_{2018}}}$ ?
A. ${{\left( -4 \right)}^{2017}}-2018.$
B. ${{2}^{2017}}-2018.$
C. ${{4}^{2017}}-2018.$
D. ${{\left( -2 \right)}^{2017}}-2018.$
A. ${{\left( -4 \right)}^{2017}}-2018.$
B. ${{2}^{2017}}-2018.$
C. ${{4}^{2017}}-2018.$
D. ${{\left( -2 \right)}^{2017}}-2018.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{M}_{k}}\left( {{x}_{k}};{{y}_{k}} \right)$ là $y-{{y}_{k}}={y}'\left( {{x}_{k}} \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)$
$\Leftrightarrow y={y}'\left( {{x}_{k}} \right).\left( x-{{x}_{k}} \right)+{{y}_{k}}=\left( 3x_{k}^{2}-2018 \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}-2018x_{k}^{{}}$ $\left( d \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là
${{x}^{3}}-2018x=\left( 3x_{k}^{2}-2018 \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}-2018{{x}_{k}}\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{k}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{k}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{k}} \\
& x=-2{{x}_{k}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${{x}_{k+1}}=-2{{x}_{k}}$ suy ra $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với ${{x}_{1}}=1;q=-2\Rightarrow {{x}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}$
Vậy $\dfrac{{{y}_{2018}}}{{{x}_{2018}}}=\dfrac{x_{2018}^{3}-2018{{x}_{2018}}}{{{x}_{2018}}}=x_{2018}^{2}-2018={{\left( -2 \right)}^{4034}}-2018.$
$\Leftrightarrow y={y}'\left( {{x}_{k}} \right).\left( x-{{x}_{k}} \right)+{{y}_{k}}=\left( 3x_{k}^{2}-2018 \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}-2018x_{k}^{{}}$ $\left( d \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là
${{x}^{3}}-2018x=\left( 3x_{k}^{2}-2018 \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}-2018{{x}_{k}}\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{k}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{k}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{k}} \\
& x=-2{{x}_{k}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${{x}_{k+1}}=-2{{x}_{k}}$ suy ra $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với ${{x}_{1}}=1;q=-2\Rightarrow {{x}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}$
Vậy $\dfrac{{{y}_{2018}}}{{{x}_{2018}}}=\dfrac{x_{2018}^{3}-2018{{x}_{2018}}}{{{x}_{2018}}}=x_{2018}^{2}-2018={{\left( -2 \right)}^{4034}}-2018.$
Đáp án C.