Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0; +\infty )$ bằng
A. 2.
B. $\sqrt{2}.$
C. 0.
D. 1.
A. 2.
B. $\sqrt{2}.$
C. 0.
D. 1.
Cách 1:
+) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm x; $\dfrac{1}{x}$ ta được:
$y=\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}\ge \sqrt{2\sqrt{x\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{2}$, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=1.$
+) Vậy $\underset{\left( 0; +\infty \right)}{\mathop{Min y}} =\sqrt{2}=y\left( 1 \right).$
Cách 2:
+) Ta có: ${y}'=\dfrac{1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{2\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Bảng biến thiên:
+) Dựa vào BBT ta có $\underset{\left( 0; +\infty \right)}{\mathop{Min y}} =\sqrt{2}=y\left( 1 \right).$
+) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm x; $\dfrac{1}{x}$ ta được:
$y=\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}\ge \sqrt{2\sqrt{x\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{2}$, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=1.$
+) Vậy $\underset{\left( 0; +\infty \right)}{\mathop{Min y}} =\sqrt{2}=y\left( 1 \right).$
Cách 2:
+) Ta có: ${y}'=\dfrac{1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{2\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Bảng biến thiên:
+) Dựa vào BBT ta có $\underset{\left( 0; +\infty \right)}{\mathop{Min y}} =\sqrt{2}=y\left( 1 \right).$
Đáp án B.