Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\sqrt{\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)\cos x+4m-3}\left( 1 \right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2019 của tham số mđể hàm số ( )1 xác định với mọi $x\in ~\mathbb{R}$ ?
A. 2017
B. 2
C. 2018
D. 0
A. 2017
B. 2
C. 2018
D. 0
Phương pháp:
- Hàm số $y=\sqrt{f\left( x \right)}$ xác định với mọi x∈ $\mathbb{R}$. khi và chỉ khi $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\ge f\left( x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge ~maxf\left( x \right).~$
- Gọi Mlà giá trị lớn nhất của hàm số f( x). Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
a\sin x+ b\cos x= clà a2 + b2 ≥ c2 .
Cách giải:
$\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)~\cos x+4m-3\ge 0,~\forall x~\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\left( 2\sin x-\cos x+4 \right)\ge \sin x+2\cos x+3\forall x~\in \mathbb{R}~\left( 1~ \right)~$
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{l}}
-\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}\le 2\sin x-\cos x\le \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}} \\
\Leftrightarrow -\sqrt{5}\le 2\sin x-\cos x~\le ~5~ \\
\Leftrightarrow -\sqrt{5}+4\le 2\sin x-\cos x~+4\le \sqrt{5}+~4 \\
\Rightarrow 2\sin x-\cos x+4>0\forall x~\in \mathbb{R}~ \\
\end{array}$
Khi đó ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}\forall x\in \mathbb{R}\left( 2 \right).~$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}$ ta có $m\ge f\left( x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge ~maxf\left( x \right).~$
Gọi M= max f( x) khi đó tồn tại $x\in \mathbb{R}$ để $M=\dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}.$
$\Leftrightarrow 2M\sin x-M\cos x+4M=\sin x+2\cos x~+~3$
$\Leftrightarrow \left( 2M-1 \right)\sin x-\left( M+2 \right)~\cos x=3-~4M~$
Phương trình trên có nghiệm
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{\left( 2M-1 \right)}^{2}}+{{\left( M+2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3-~4~M~ \right)}^{2~}} \\
\Leftrightarrow 4{{M}^{2}}-4M+1+{{M}^{2}}+4M+4\ge 16{{M}^{2}}~-24M~+~9~ \\
\Leftrightarrow -11{{M}^{2}}~+24M~-4\ge ~0 \\
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{2}{11}\le M~\le 1 \\
& \Rightarrow M=maxf\left( x \right)=~1\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge 1.~ \\
\end{aligned} \\
\end{array}$
Mặt khác, mlà số nguyên dương nhỏ hơn 2019 nên m∈ { 2;3;4;5;....;2018 } là các giá trị thỏa mãn.
Vậy có 2017 giá trị của mthỏa mãn.
- Hàm số $y=\sqrt{f\left( x \right)}$ xác định với mọi x∈ $\mathbb{R}$. khi và chỉ khi $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\ge f\left( x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge ~maxf\left( x \right).~$
- Gọi Mlà giá trị lớn nhất của hàm số f( x). Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
a\sin x+ b\cos x= clà a2 + b2 ≥ c2 .
Cách giải:
$\left( 2m-1 \right)\sin x-\left( m+2 \right)~\cos x+4m-3\ge 0,~\forall x~\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\left( 2\sin x-\cos x+4 \right)\ge \sin x+2\cos x+3\forall x~\in \mathbb{R}~\left( 1~ \right)~$
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{l}}
-\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}\le 2\sin x-\cos x\le \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}} \\
\Leftrightarrow -\sqrt{5}\le 2\sin x-\cos x~\le ~5~ \\
\Leftrightarrow -\sqrt{5}+4\le 2\sin x-\cos x~+4\le \sqrt{5}+~4 \\
\Rightarrow 2\sin x-\cos x+4>0\forall x~\in \mathbb{R}~ \\
\end{array}$
Khi đó ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}\forall x\in \mathbb{R}\left( 2 \right).~$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}$ ta có $m\ge f\left( x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge ~maxf\left( x \right).~$
Gọi M= max f( x) khi đó tồn tại $x\in \mathbb{R}$ để $M=\dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x-\cos x+4}.$
$\Leftrightarrow 2M\sin x-M\cos x+4M=\sin x+2\cos x~+~3$
$\Leftrightarrow \left( 2M-1 \right)\sin x-\left( M+2 \right)~\cos x=3-~4M~$
Phương trình trên có nghiệm
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{\left( 2M-1 \right)}^{2}}+{{\left( M+2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3-~4~M~ \right)}^{2~}} \\
\Leftrightarrow 4{{M}^{2}}-4M+1+{{M}^{2}}+4M+4\ge 16{{M}^{2}}~-24M~+~9~ \\
\Leftrightarrow -11{{M}^{2}}~+24M~-4\ge ~0 \\
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{2}{11}\le M~\le 1 \\
& \Rightarrow M=maxf\left( x \right)=~1\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge 1.~ \\
\end{aligned} \\
\end{array}$
Mặt khác, mlà số nguyên dương nhỏ hơn 2019 nên m∈ { 2;3;4;5;....;2018 } là các giá trị thỏa mãn.
Vậy có 2017 giá trị của mthỏa mãn.
Đáp án A.