Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( \dfrac{1}{x} \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ và hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right).$ Biết $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Hỏi hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( -\infty ;-1 \right).$
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( 1;+\infty \right).$
A. $\left( -\infty ;-1 \right).$
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( 1;+\infty \right).$
Ta có: $\left( {{C}_{1}} \right):y={{\log }_{2020}}\left( \dfrac{1}{x} \right)=-{{\log }_{2020}}x.$
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị đối xứng của $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua trục Ox
$\Rightarrow \left( C \right)$ là đồ thị của hàm số $y={{\log }_{2020}}x.$
Nhận thấy $\left( {{C}_{2}} \right)$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua trục Oy $\Rightarrow \left( {{C}_{2}} \right)$ là đồ thị của hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( -x \right),$ hay $f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( -x \right),$ với $x<0.$
Do đó: $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|=\sqrt{{{\left[ {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right]}^{2}}}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{\left[ {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right]}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{2{{\log }_{2020}}\left( -x \right).\dfrac{-1}{-x.\ln 2020}}{\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|}=\dfrac{2.{{\log }_{2020}}\left( -x \right)}{x.\ln 2020.\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x<-1$ hay hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right).$
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị đối xứng của $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua trục Ox
$\Rightarrow \left( C \right)$ là đồ thị của hàm số $y={{\log }_{2020}}x.$
Nhận thấy $\left( {{C}_{2}} \right)$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua trục Oy $\Rightarrow \left( {{C}_{2}} \right)$ là đồ thị của hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( -x \right),$ hay $f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( -x \right),$ với $x<0.$
Do đó: $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|=\sqrt{{{\left[ {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right]}^{2}}}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{\left[ {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right]}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{2{{\log }_{2020}}\left( -x \right).\dfrac{-1}{-x.\ln 2020}}{\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|}=\dfrac{2.{{\log }_{2020}}\left( -x \right)}{x.\ln 2020.\left| {{\log }_{2020}}\left( -x \right) \right|}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x<-1$ hay hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right).$
Đáp án A.