Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1...

Xét hàm số: $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+27$ trên đoạn $\left[ -3;-1 \right]$ ta có
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+{{m}^{2}}+1>0,\forall x\in \left[ -3;-1 \right]$. Suy ra hàm số luôn đồng biến $\forall x\in \left[ -3;-1 \right]$
$\underset{\left[ -3;-1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -3 \right)=6-3{{m}^{2}}$ ; $\underset{\left[ -3;-1 \right]}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=26-{{m}^{2}}$
Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của $y=\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+27 \right|.$
$M=\underset{\left[ -3;-1 \right]}{\mathop{Max}} =max\left\{ \left| 26-{{m}^{2}} \right|,\left| 6-3{{m}^{2}} \right| \right\}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\ge \left| 26-{{m}^{2}} \right| \\
& M\ge \left| 6-3{{m}^{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3M\ge 3\left| 26-{{m}^{2}} \right| \\
& M\ge \left| 6-3{{m}^{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 4M\ge \left| 78-3{{m}^{2}} \right|+\left| 6-3{{m}^{2}} \right|$
$\Rightarrow 4M\ge \left| 78-3{{m}^{2}} \right|+\left| 3{{m}^{2}}-6 \right|$
$\Rightarrow 4M\ge 72\Rightarrow M\ge 18$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left| 26-{{m}^{2}} \right|=\left| 6-3{{m}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 26-{{m}^{2}}=6-3{{m}^{2}} \\
& 26-{{m}^{2}}=3{{m}^{2}}-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=-10(l) \\
& {{m}^{2}}=8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{2}.$
Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ -3;-1 \right]$ có giá trị nhỏ nhất bằng $18$