Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = | x^{3} + x^{2} + (m^{2} + 1) x + 27 |

. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[- 3; - 1]

có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của S là
A. 4
B.

- 4

C. 8
D.

- 8

Xét hàm số

f (x) = x^{3} + x^{2} + (m^{2} + 1) x + 27

liên tục trên đoạn

[- 3; - 1]

.
Ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x + m^{2} + 1 > 0

với mọi

x \in [- 3; - 1]

Ta lại có

f (- 3) = 6 - 3 m^{2}; f (- 1) = 26 - m^{2}

Suy ra

max_{[- 3; - 1]} | f (x) | = max {| 6 - 3 m^{2} |; | 26 - m^{2} |} = M

Ta có

{\begin{aligned} M \geq | 6 - 3 m^{2} | \\ M \geq | 26 - m^{2} | \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} M \geq | 6 - 3 m^{2} | \\ 3 M \geq | 3 m^{2} - 78 | \end{aligned} \Rightarrow 4 M \geq 72 \Leftrightarrow M \geq 18

Dấu "=" xảy ra khi

{\begin{aligned} | 6 - 3 m^{2} | = | 26 - m^{2} | = 18 \\ (6 - 3 m^{2}) (3 m - 78) > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow m^{2} = 8 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 2 \sqrt{2} \\ m = - 2 \sqrt{2} \end{aligned}

Vậy với

[\begin{aligned} m = 2 \sqrt{2} \\ m = - 2 \sqrt{2} \end{aligned}

thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[- 3; - 1]

có giá trị nhỏ nhất.
Khi đó tích các giá trị là

2 \sqrt{2} . (- 2 \sqrt{2}) = - 8

Đáp án D.