Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+27$ liên tục trên đoạn $\left[ -3;-1 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+{{m}^{2}}+1>0$ với mọi $x\in \left[ -3;-1 \right]$
Ta lại có $f\left( -3 \right)=6-3{{m}^{2}};f\left( -1 \right)=26-{{m}^{2}}$
Suy ra $\underset{\left[ -3;-1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| 6-3{{m}^{2}} \right|;\left| 26-{{m}^{2}} \right| \right\}=M$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& M\ge \left| 6-3{{m}^{2}} \right| \\
& M\ge \left| 26-{{m}^{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\ge \left| 6-3{{m}^{2}} \right| \\
& 3M\ge \left| 3{{m}^{2}}-78 \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4M\ge 72\Leftrightarrow M\ge 18$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| 6-3{{m}^{2}} \right|=\left| 26-{{m}^{2}} \right|=18 \\
& \left( 6-3{{m}^{2}} \right)\left( 3m-78 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}=8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2\sqrt{2} \\
& m=-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy với $\left[ \begin{aligned}
& m=2\sqrt{2} \\
& m=-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $ \left[ -3;-1 \right]$ có giá trị nhỏ nhất.
Khi đó tích các giá trị là $2\sqrt{2}.\left( -2\sqrt{2} \right)=-8$