Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-m\text{x}+1 \right|$. Gọi S là tập...

Xét hàm số $y=f(x)={{x}^{3}}-mx+1\Rightarrow {f}'(x)=3{{\text{x}}^{2}}-m$
Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=\left| f(x) \right|=\left| {{x}^{3}}-mx+1 \right|$ được dựng từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ bằng cách giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới Ox qua Ox (xóa bỏ phần đồ thị của $y=f(x)$ nằm phía dưới Ox).
TH1: Với $m=0$ ta có: Hàm số $y=f(x)={{x}^{3}}+1$ đồng biến trên ℝ
Có $f(1)=2>0\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f(x) \right|=\left| {{x}^{3}}-m\text{x}+1 \right|$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)\Rightarrow m=0$ : thỏa mãn
TH2: Với $m>0$ ta có: ${f}'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$
Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-mx+1 \right|$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\
& f(1)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \dfrac{-m}{3}+1\ge 0 \\
& 2-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m\le 2$
Mà $n\notin \mathbb{N}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}$. Vậy $S=\left\{ 0;1;2 \right\}$. Số phần tử của S là 3.