Cho hàm số $y={{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}}$. Tổng tất cả...

Ta có $y'=2\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)$
$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy nếu ${{x}^{3}}-3x+m=0$ có nghiệm thì $\min y=\min {{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}}=0$
Nên để giá trị nhỏ nhất của $y={{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng 1 thì ${{x}^{3}}-3x+m\ne 0$ $\forall x\in \left[ -1,1 \right]$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right.$
Xét TH ${{x}^{3}}-3x+m>0\Rightarrow y'\le 0\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\forall x\in \left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)={{\left( m-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1\left( l \right) \\
& m=3\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét TH ${{x}^{3}}-3x+m<0\Rightarrow y'\ge 0\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\forall x\in \left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( -1 \right)={{\left( m+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1\left( l \right) \\
& m=-3\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m=\left\{ -3;3 \right\}\Rightarrow -3+3=0$