Cho hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-4\text{x}+2m-3 \right|$ với m là...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-4\text{x}+2m-3$ liên tục trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=2\text{x}-4=0\Leftrightarrow x=2\in \left[ 1;3 \right]$.
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=2m-6;\text{ f}\left( 2 \right)=2m-7;\text{ f}\left( 3 \right)=2m-6$.
Suy ra: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| 2m-6 \right|;\left| 2m-7 \right| \right\}=M$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M\ge \left| 2m-6 \right| \\
& M\ge \left| 2m-7 \right|=\left| 7-2m \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2M\ge \left| 2m-6 \right|+\left| 7-2m \right|\ge \left| 2m-6+7-2m \right|=1$
$\Rightarrow M\ge \dfrac{1}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m-6 \right|=\left| 2m-7 \right|=\dfrac{1}{2} \\
& \left( 2m-6 \right)\left( 7-2m \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{4}$.
Vậy $m=\dfrac{13}{4}$.