Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left( m-7 \right){{x}^{3}}+\left( m-7 \right){{x}^{2}}-2m\text{x}-1$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Ta có ${y}'=3\left( m-7 \right){{x}^{2}}+2\left( m-7 \right)x-2m.$
Với m = 7 suy ra ${y}'=-14<0,\forall x\in \mathbb{R}$, do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Với $m\ne 7$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi ${y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R},$ điều này tương đương với điều kiện
$\left\{ \begin{aligned}
& 3\left( m-7 \right)<0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& 7{{m}^{2}}-56m+49\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& 1\le m\le 7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1\le m\le 7.$
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có $1\le m\le 7,$
Vậy có 7 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Với m = 7 suy ra ${y}'=-14<0,\forall x\in \mathbb{R}$, do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Với $m\ne 7$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi ${y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R},$ điều này tương đương với điều kiện
$\left\{ \begin{aligned}
& 3\left( m-7 \right)<0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& 7{{m}^{2}}-56m+49\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& 1\le m\le 7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1\le m\le 7.$
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có $1\le m\le 7,$
Vậy có 7 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Đáp án C.