Cho hàm số $y=\left| \dfrac{{{x}^{2}}-2mx+1}{{{x}^{2}}-x+2}...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = | \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} |

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [- 10; 10]

để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng 4.
A. 14
B. 10
C. 20
D.

18

Theo đề ra ta có

max {| \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} |} \geq 4

Ta có

lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} = 1

do đó luôn tồn tại

max {| \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} |}

trên

R

thoả yêu cầu bài toán.
Ta tìm

m

để

max {| \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} |} < 4, \forall x \in R

Ta có

| \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} | < 4, \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} > - 4, \forall x \in R \\ \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} < 4, \forall x \in R \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 5 x^{2} - (2 m + 4) x + 9 > 0, \forall x \in R \\ - 3 x^{2} - (2 m - 4) x - 7 < 0, \forall x \in R \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m^{2} + 4 m - 41 < 0 \\ m^{2} - 4 m - 17 < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 2 - 3 \sqrt{5} < m < - 2 + 3 \sqrt{5} \\ 2 - \sqrt{21} < m < 2 + \sqrt{21} \end{aligned}

\Leftrightarrow 2 - \sqrt{21} < m < - 2 + 3 \sqrt{5}

Khi đó:

max {| \frac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} |} \geq 4 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m \leq 2 - \sqrt{21} \\ m \geq - 2 + 3 \sqrt{5} \end{aligned}

.
Giá trị nguyên của tham số

m \in [- 10; 10]

là

m \in {- 10; - 9; . . .; - 3; 5; 6; . . .; 10}

.

Đáp án A.