Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

xác định và liên tục trên

R ∖ {0}

thỏa mãn.

x^{2} . f^{2} (x) + (2 x - 1) . f (x) = x . f^{'} (x) - 1

với

\forall x \in R ∖ {0}

đồng thời

f (1) = - 2

. Tính

\int_{1}^{2} f (x) d x

A.

- \frac{\ln 2}{2} - \frac{3}{2} .

B.

- \ln 2 - \frac{1}{2} .

C.

- \frac{\ln 2}{2} - 1.

D.

- \ln 2 - \frac{3}{2} .

Ta có

x^{2} . f^{2} (x) + (2 x - 1) . f (x) = x . f^{'} (x) - 1

\Leftrightarrow x^{2} . f^{2} (x) + 2 x . f (x) + 1 = x . f^{'} (x) + f (x)

\Leftrightarrow {[x . f (x) + 1]}^{2} = [x . f (x)]^{'} \Leftrightarrow {[x . f (x) + 1]}^{2} = [x . f (x) + 1]^{'}

\Leftrightarrow \frac{[x . f (x) + 1]^{'}}{{[x . f (x) + 1]}^{2}} = 1

\Leftrightarrow \int \frac{[x . f (x) + 1]^{'}}{{[x . f (x) + 1]}^{2}} d x = \int d x \Leftrightarrow \int \frac{d [x . f (x) + 1]}{{[x . f (x) + 1]}^{2}} = \int d x \Rightarrow \frac{- 1}{x . f (x) + 1} = x + C .

Theo đề bài ta có

f (1) = - 2

nên C = 0 suy ra

f (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} .

Nên

\int_{1}^{2} {f (x) d x = \int_{1}^{2} (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}) d x = (\frac{1}{x} - \ln | x |) |}_{1}^{2} = - \ln 2 - \frac{1}{2} .

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên...