Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \!\!\{\!\!0\}$ thỏa mãn. ${{x}^{2}}.{{f}^{2}}(x)+(2x-1).f(x)=x.f'(x)-1$ với $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \!\!\{\!\!0\}$ đồng thời $f(1)=-2$. Tính $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$
A. $-\dfrac{\ln 2}{2}-\dfrac{3}{2}.$
B. $-\ln 2-\dfrac{1}{2}.$
C. $-\dfrac{\ln 2}{2}-1.$
D. $-\ln 2-\dfrac{3}{2}.$
A. $-\dfrac{\ln 2}{2}-\dfrac{3}{2}.$
B. $-\ln 2-\dfrac{1}{2}.$
C. $-\dfrac{\ln 2}{2}-1.$
D. $-\ln 2-\dfrac{3}{2}.$
Ta có ${{x}^{2}}.{{f}^{2}}(x)+(2x-1).f(x)=x.f'(x)-1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}.{{f}^{2}}(x)+2x.f(x)+1=x.f'(x)+f(x)$
$\Leftrightarrow {{[x.f(x)+1]}^{2}}=[x.f(x)]'\Leftrightarrow {{[x.f(x)+1]}^{2}}=[x.f(x)+1]'$
$\Leftrightarrow \dfrac{[x.f(x)+1]'}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}=1$
$\Leftrightarrow \int{\dfrac{[x.f(x)+1]'}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}dx=\int{dx\Leftrightarrow }}\int{\dfrac{d[x.f(x)+1]}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}=\int{dx\Rightarrow \dfrac{-1}{x.f(x)+1}=x+C}}.$
Theo đề bài ta có $f(1)=-2$ nên C = 0 suy ra $f(x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}.$
Nên $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( -\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x} \right)dx=\left. \left( \dfrac{1}{x}-\ln \left| x \right| \right) \right|}}_{1}^{2}=-\ln 2-\dfrac{1}{2}.$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}.{{f}^{2}}(x)+2x.f(x)+1=x.f'(x)+f(x)$
$\Leftrightarrow {{[x.f(x)+1]}^{2}}=[x.f(x)]'\Leftrightarrow {{[x.f(x)+1]}^{2}}=[x.f(x)+1]'$
$\Leftrightarrow \dfrac{[x.f(x)+1]'}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}=1$
$\Leftrightarrow \int{\dfrac{[x.f(x)+1]'}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}dx=\int{dx\Leftrightarrow }}\int{\dfrac{d[x.f(x)+1]}{{{[x.f(x)+1]}^{2}}}=\int{dx\Rightarrow \dfrac{-1}{x.f(x)+1}=x+C}}.$
Theo đề bài ta có $f(1)=-2$ nên C = 0 suy ra $f(x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}.$
Nên $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( -\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x} \right)dx=\left. \left( \dfrac{1}{x}-\ln \left| x \right| \right) \right|}}_{1}^{2}=-\ln 2-\dfrac{1}{2}.$
Đáp án B.