Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến...

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta có đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f(|x|)$ như hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta có $y=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị.
(Chú ý: Hàm số $y=f(x)$ có $a=2$ điểm cực trị dương nên hàm số $y=f(\left|x\right|)$ có số điểm cực trị là $2a+1=5$ ).
Vì hàm số $y=f(\left|x\right|)$ có 5 điểm cực trị nên hàm số $y=m+f(\left|x\right|)$ cũng có 5 điểm cực trị (vì đồ thị hàm số $y=m+f(\left|x\right|)$ được suy ra từ đồ thị $y=f(\left|x\right|)$ bằng cách tịnh tiến theo phương trục $Oy$ ).
Số điểm cực trị của hàm số $y=|m+f\left(\left|x\right|\right)|$ bằng số cực trị của hàm số $y=m+f(\left|x\right|)$ và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $f\left(\left|x\right|\right)+m=0$.
Vậy để $y=|m+f(|x|)|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình $f\left(\left|x\right|\right)+m=0$ có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
Ta có $f\left(\left|x\right|\right)+m=0\iff f\left(\left|x\right|\right)=-m$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ ta có: $[\begin{array}{l}-5<-m\le -1\\ 0\le -m\end{array}\iff [\begin{array}{l}1\le m<5\\ m\le 0\end{array}$.
Vì $\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ \left|m\right|\le 2019\end{array}\Rightarrow$ có 2024 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.