Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên trục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình $2.f\left( 3-4\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}} \right)=m-3$ có nghiệm?
A. 7
B. 13
C. 8
D. 12
B. 13
C. 8
D. 12
Điều kiện $0\le x\le \dfrac{2}{3}$.
Đặt $t=3-4\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}}=g(x),x\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]$.
Xét ${g}'(x)=\dfrac{12\left( 3\text{x}-1 \right)}{\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}}}\Rightarrow {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]$.
$g(0)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=3;g\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1.x\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;3 \right]$.
Dựa vào đồ thị ta có $-5\le f(t)\le 1,\forall t\in \left[ -1;3 \right]$.
Khi đó phương trình $2f(t)=m-3\Leftrightarrow 2.f\left( 3-4\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}} \right)=m-3$ có nghiệm
$\Leftrightarrow -10\le m-3\le 2\Leftrightarrow -7\le m\le 5$.
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ nên $m\in \left\{ -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.
Đặt $t=3-4\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}}=g(x),x\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]$.
Xét ${g}'(x)=\dfrac{12\left( 3\text{x}-1 \right)}{\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}}}\Rightarrow {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]$.
$g(0)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=3;g\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1.x\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;3 \right]$.
Dựa vào đồ thị ta có $-5\le f(t)\le 1,\forall t\in \left[ -1;3 \right]$.
Khi đó phương trình $2f(t)=m-3\Leftrightarrow 2.f\left( 3-4\sqrt{6\text{x}-9{{\text{x}}^{2}}} \right)=m-3$ có nghiệm
$\Leftrightarrow -10\le m-3\le 2\Leftrightarrow -7\le m\le 5$.
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ nên $m\in \left\{ -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.
Đáp án A.