Cho hàm số $y=f(x)=x^3+3x^2+2$ và phương trình $\left| \left|...

Ta có bảng biến thiên của $y=|f(x)+m|$

Bảng biến thiên của $y=|f(x)+m|+m$

TH1: $2m+6>0\Rightarrow m>-3$
Ta có: $||f(x)+m|+m|=n\iff \{\begin{array}{rl}& n\ge 0\\ & [\begin{array}{rl}& |f(x)+m|+m=n\\ & |f(x)+m|+m=-n\end{array}\end{array}$.
Suy ra phương trình $||f(x)+m|+m|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi:
$\iff \{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ [\begin{array}{c}0<n<2m+6\\ \{\begin{array}{c}n>2m+6\\ m<-n<-2\end{array}\end{array}\end{array}\{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ [\begin{array}{c}0<n<2m+6\\ \{\begin{array}{c}n>2m+6\\ 2<n<-m\end{array}\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3<m<-2\\ [\begin{array}{c}0<n<2m+6\\ 2<n<-m\end{array}\end{array}$
TH2: $2m+6\le 0\Rightarrow m\le -3$
Ta có bảng biến thiên của $y=||f(x)+m|+m|$ như sau:

+ Nếu $-2m-6<2\iff -4<m\le -3$ thì $||f(x)+m|+m|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $2<n<-m$ hay $\{\begin{array}{l}-4<m\le -3\\ 2<n<-m\end{array}$.
+ Nếu $-2m-6>2\iff -6<m<-4$ thì $||f(x)+m|+m|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $-2m-6<n<-m\iff 0<n<-m$ hay $\{\begin{array}{l}-6<m<-4\\ 0<n<-m\end{array}$.