Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)=x^{3}+3 x^{2}+2$ và phương trình $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt với $m \in(-6 ;-2)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left\{\begin{array}{l}-6<m<-4 \\ 2<n<-6-2 m\end{array}\right.$.
B. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ 6+2 m<n<2\end{array}\right.$.
C. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ -m<n\end{array}\right.$.
D. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ {\left[\begin{array}{l}0<n<6+2 m \\ 2<n<-m\end{array}\right.}\end{array}\right.$.
A. $\left\{\begin{array}{l}-6<m<-4 \\ 2<n<-6-2 m\end{array}\right.$.
B. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ 6+2 m<n<2\end{array}\right.$.
C. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ -m<n\end{array}\right.$.
D. $\left\{\begin{array}{l}-3<m<-2 \\ {\left[\begin{array}{l}0<n<6+2 m \\ 2<n<-m\end{array}\right.}\end{array}\right.$.
Ta có bảng biến thiên của $y=\left| f(x)+m \right|$
Bảng biến thiên của $y=\left| f(x)+m \right|+m$
TH1: $2 m+6>0 \Rightarrow m>-3$
Ta có: $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& \left| f(x)+m \right|+m=n \\
& \left| f(x)+m \right|+m=-n \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n>2m+6 \\
m<-n<-2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n>2m+6 \\
2<n<-m \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
2<n<-m \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \right.$
TH2: $2 m+6 \leq 0 \Rightarrow m \leq-3$
Ta có bảng biến thiên của $y=\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|$ như sau:
+ Nếu $-2m-6<2\Leftrightarrow -4<m\le -3$ thì $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $2<n<-m$ hay $\left\{\begin{array}{l}-4<m \leq-3 \\ 2<n<-m\end{array}\right.$.
+ Nếu $-2 m-6>2 \Leftrightarrow-6<m<-4$ thì $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $-2 m-6<n<-m \Leftrightarrow 0<n<-m$ hay $\left\{\begin{array}{l}-6<m<-4 \\ 0<n<-m\end{array}\right.$.
Bảng biến thiên của $y=\left| f(x)+m \right|+m$
TH1: $2 m+6>0 \Rightarrow m>-3$
Ta có: $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& \left| f(x)+m \right|+m=n \\
& \left| f(x)+m \right|+m=-n \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n>2m+6 \\
m<-n<-2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n>2m+6 \\
2<n<-m \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<-2 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
0<n<2m+6 \\
2<n<-m \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \right.$
TH2: $2 m+6 \leq 0 \Rightarrow m \leq-3$
Ta có bảng biến thiên của $y=\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|$ như sau:
+ Nếu $-2m-6<2\Leftrightarrow -4<m\le -3$ thì $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $2<n<-m$ hay $\left\{\begin{array}{l}-4<m \leq-3 \\ 2<n<-m\end{array}\right.$.
+ Nếu $-2 m-6>2 \Leftrightarrow-6<m<-4$ thì $\left| \left| f(x)+m \right|+m \right|=n$ có 8 nghiệm phân biệt khi $-2 m-6<n<-m \Leftrightarrow 0<n<-m$ hay $\left\{\begin{array}{l}-6<m<-4 \\ 0<n<-m\end{array}\right.$.
Đáp án D.