Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ và hàm số $y=g(x)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{f(x)}{g(x)}=m$ có nghiệm thuộc $[-2 ; 3]$ ?
A. 4 .
B. 5 .
C. 7.
D. 6 .
A. 4 .
B. 5 .
C. 7.
D. 6 .
Xét hàm số $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Dựa vào đồ thị, ta thấy các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên [-2;3], do đó $h(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên [-2; 3].
Ngoài ra với $x \in[-2 ; 3]$, dễ thấy $f(x) \leq 6, g(x) \geq 1$ nên $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 6$, mà $h(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{6}{1}=$ 6 nên $\max _{[-2 ; 3]} h(x)=6(1)$.
Lại có $h(x)>0$ với mọi $x \in[-2 ; 3]$ và $h(-2)=1$ nên $0<\min _{[-2 ; 3]} h(x) \leq 1$ (2).
Phương trình $\dfrac{f(x)}{g(x)}=m$ có nghiệm trên $[-2 ; 3]$ khi và chỉ khi $\min _{[-2 ; 3]} h(x) \leq m \leq \max _{[-2 ; 3]} h(x)(3)$.
Từ (1), (2) và (3), kết hợp với $m \in \mathbb{Z}$, ta có $m \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$.
Ngoài ra với $x \in[-2 ; 3]$, dễ thấy $f(x) \leq 6, g(x) \geq 1$ nên $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 6$, mà $h(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{6}{1}=$ 6 nên $\max _{[-2 ; 3]} h(x)=6(1)$.
Lại có $h(x)>0$ với mọi $x \in[-2 ; 3]$ và $h(-2)=1$ nên $0<\min _{[-2 ; 3]} h(x) \leq 1$ (2).
Phương trình $\dfrac{f(x)}{g(x)}=m$ có nghiệm trên $[-2 ; 3]$ khi và chỉ khi $\min _{[-2 ; 3]} h(x) \leq m \leq \max _{[-2 ; 3]} h(x)(3)$.
Từ (1), (2) và (3), kết hợp với $m \in \mathbb{Z}$, ta có $m \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$.
Đáp án D.
