Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như...

Đặt $t=x^3-3{\text{x}}^2\Rightarrow t^{\prime }=3{\text{x}}^2-6\text{x}=0\iff x\in \{0;2\}$. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra:
+) Hàm số $y=x^3-3{\text{x}}^2$ nghịch biến trên $[1;2]\Rightarrow t\in [-4;-2]$.

Suy ra $(m^3-3m^2)\in [-4;-2]$ khi $m\in [1;2]$
$\Rightarrow (m^3-3m^2+5)\in [1;3]$ với $m\in [1;2]$.
+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình
$f(t)=m^3-3m^2+5\iff [\begin{array}{rl}& t=t_1<-4\\ & t=t_2\in (-4;0)\\ & t=t_3\in (-4;0)\end{array}$
+) Bảng biến thiên của hàm số $y=x^3-3{\text{x}}^2$ cho ta biết:
Với $t=t_1\Rightarrow x^3-3{\text{x}}^2=t_1<-4$ : có 1 nghiệm.
Với $t=t_2\Rightarrow x^3-3x^2=t_2\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Với $t=t_3\Rightarrow x^3-3{\text{x}}^2=t_3\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả: $1+3+3=7$ nghiệm.
Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn $m=1\in [1;2]$ để đưa phương trình về dạng: $f(x^3-3{\text{x}}^2)=3$
(Do số nghiệm của phương trình không đổi với $\mathrm{\forall }m\in [1;2]$ ).