Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$, phương trình $f({{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}})={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+5$ có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
Đặt $t={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow {t}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;2 \right\}$. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra:
+) Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$ nghịch biến trên $\left[ 1;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -4;-2 \right]$.
Suy ra $({{m}^{3}}-3{{m}^{2}})\in \left[ -4;-2 \right]$ khi $m\in \left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow ({{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+5)\in \left[ 1;3 \right]$ với $m\in \left[ 1;2 \right]$.
+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình
$f(t)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}<-4 \\
& t={{t}_{2}}\in (-4;0) \\
& t={{t}_{3}}\in (-4;0) \\
\end{aligned} \right.$
+) Bảng biến thiên của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$ cho ta biết:
Với $t={{t}_{1}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}={{t}_{1}}<-4$ : có 1 nghiệm.
Với $t={{t}_{2}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}={{t}_{2}}\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Với $t={{t}_{3}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}={{t}_{3}}\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả: $1+3+3=7$ nghiệm.
Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn $m=1\in \left[ 1;2 \right]$ để đưa phương trình về dạng: $f({{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}})=3$
(Do số nghiệm của phương trình không đổi với $\forall m\in \left[ 1;2 \right]$ ).
Từ bảng biến thiên, suy ra:
+) Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$ nghịch biến trên $\left[ 1;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -4;-2 \right]$.
Suy ra $({{m}^{3}}-3{{m}^{2}})\in \left[ -4;-2 \right]$ khi $m\in \left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow ({{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+5)\in \left[ 1;3 \right]$ với $m\in \left[ 1;2 \right]$.
+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình
$f(t)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}<-4 \\
& t={{t}_{2}}\in (-4;0) \\
& t={{t}_{3}}\in (-4;0) \\
\end{aligned} \right.$
+) Bảng biến thiên của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$ cho ta biết:
Với $t={{t}_{1}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}={{t}_{1}}<-4$ : có 1 nghiệm.
Với $t={{t}_{2}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}={{t}_{2}}\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Với $t={{t}_{3}}\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}={{t}_{3}}\in (-4;0)$ : có 3 nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả: $1+3+3=7$ nghiệm.
Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn $m=1\in \left[ 1;2 \right]$ để đưa phương trình về dạng: $f({{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}})=3$
(Do số nghiệm của phương trình không đổi với $\forall m\in \left[ 1;2 \right]$ ).
Đáp án B.