Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $R$ thỏa...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục và có đạo hàm trên

R

thỏa mãn

3 f^{2} (x) . f^{'} (x) - 4 x . e^{- f^{3} (x) + 2 x^{2} + x + 1} = 1 = f (0)

. Biết rằng

I = \int_{0}^{\frac{- 1 + \sqrt{4089}}{4}} (4 x + 1) f (x) d x = \frac{a}{b}

là phân số. Tính a-3b
A. 6123
B. 12279
C. 6125
D. 12273

Ta có:

3 f^{2} (x) . f^{'} (x) - 4 x . e^{- f^{3} (x) + 2 x^{2} + x + 1} = 1 \Leftrightarrow 3 f^{2} (x) . f^{'} (x) - 1 = 4 x . e^{- f^{3} (x) + 2 x^{2} + x + 1}

\Leftrightarrow [3 f^{2} (x) . f^{'} (x) - 1] [e^{f^{3} (x) - x}] = 4 x . e^{2 x^{3} + 1}

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

\int [3 f^{2} (x) . f^{'} (x) - 1] [e^{f^{3} (x) - x}] = \int 4 x . e^{2 x^{3} + 1} d x

\Leftrightarrow \int e^{f^{3} (x) - x} d [f^{3} (x) - x] = \int e^{2 x^{3} + 1} d (2 x^{2} + 1) \Leftrightarrow e^{f^{3} (x) - x} = e^{2 x^{3} + 1} + C

Thay x=0 ta được

e^{f^{3} (0)} = e + C \Leftrightarrow C = 0

Suy ra

f^{3} (x) - x = 2 x^{2} + 1 \Leftrightarrow f^{3} (x) = 2 x^{2} + x + 1

Khi đó

I = \int_{0}^{\frac{- 1 + \sqrt{4089}}{4}} (4 x + 1) \sqrt[3]{2 x^{2} + x + 1} d x = \frac{12285}{4} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 12285 \\ b = 4 \end{aligned}

(CASIO hoặc đặt

t = \sqrt[3]{2 x^{2} + x + 1}

)

\Rightarrow {\begin{aligned} a = 12285 \\ b = 4 \end{aligned} \Rightarrow a - 3 b = 12273

.

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa...