Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây:
Tìm số điểm cực đại của hàm số $y={{\text{e}}^{f\left( x \right)}}.{{\!\!\pi\!\!}^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
Xét hàm số $y=g\left( x \right)={{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}+3{f}'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\ln \pi $
$={f}'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\left( 1+3{{f}^{2}}\left( x \right).\ln \pi \right)$
Do ${{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\left( 1+3{{f}^{2}}\left( x \right).\ln \pi \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên ${g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>0$
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên như sau của hàm số $y=g\left( x \right)$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y={{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}$ có hai điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}+3{f}'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\ln \pi $
$={f}'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\left( 1+3{{f}^{2}}\left( x \right).\ln \pi \right)$
Do ${{e}^{f\left( x \right)}}.{{\pi }^{{{f}^{3}}\left( x \right)}}\left( 1+3{{f}^{2}}\left( x \right).\ln \pi \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên ${g}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)>0$
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên như sau của hàm số $y=g\left( x \right)$ như sau:
Đáp án A.