Google
Câu hỏi: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019;2019] để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| 1-x \right| \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ ?
A. 2012.
B. 2011.
C. 2009.
D. 2010.
A. 2012.
B. 2011.
C. 2009.
D. 2010.
$g\left( x \right)=f\left( \left| 1-x \right| \right)=f\left( 1-x \right),\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
Suy ra $g'\left( x \right)=\left[ f\left( \left| 1-x \right| \right) \right]'=-f'\left( 1-x \right)=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 1-x-2 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}-6\left( 1-x \right)+m \right]$
$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left[ {{x}^{2}}+4x+m-5 \right]$
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow g'\left( x \right)\le 0$ với mọi x < -1 (dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+m-5\ge 0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ (vì ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)<0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ )
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 9-m$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow 9-m\le 0\Leftrightarrow m\ge 9$.
Do m nguyên và $m\in $ [-2019; 2019] nên suy ra $m\in \left\{ 9;10;11;...;2019 \right\}$.
Vậy có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện.
Suy ra $g'\left( x \right)=\left[ f\left( \left| 1-x \right| \right) \right]'=-f'\left( 1-x \right)=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 1-x-2 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}-6\left( 1-x \right)+m \right]$
$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left[ {{x}^{2}}+4x+m-5 \right]$
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow g'\left( x \right)\le 0$ với mọi x < -1 (dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+m-5\ge 0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ (vì ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)<0,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ )
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 9-m$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow 9-m\le 0\Leftrightarrow m\ge 9$.
Do m nguyên và $m\in $ [-2019; 2019] nên suy ra $m\in \left\{ 9;10;11;...;2019 \right\}$.
Vậy có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện.
Đáp án B.