Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên. Xác định số nghiệm của phương trình $\left|f\left(x^{3}-3 x^{2}\right)\right|=\dfrac{3}{2}$, biết $f(-4)=0 .$
A. 9.
B. 6.
C. 7.
D. 10.
B. 6.
C. 7.
D. 10.
Đặt $t=x^{3}-3 x^{2}$ thì phương trình đã cho trờ thành $|f(t)|=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}f(t)=-\dfrac{3}{2} \\ f(t)=\dfrac{3}{2}\end{array}\right.$.
Phương trình $f(t)=-\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=a \in(-4 ;-2) \\ t=b \in(-2 ; 0) \\ t=c \in(0 ; 2) \\ t=d \in(2 ;+\infty)\end{array}\right.$. Phương trình $f(t)=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=m \in(-\infty ;-4) \\ x=n \in(2 ;+\infty)\end{array}\right.$.
Bảng biển thiên của hàm số $x^{3}-3 x^{2}$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ của hàm số $t(x)=x^{3}-3 x^{2}$ ta thấy
+) Với mỗi nghiệm $t \in(-4 ; 0)$ thì phương trinh $x^{3}-3 x^{2}=t$ sẽ có 3 nghiệm $x$.
+) Với mỗi nghiệm $t<-4 ; t>0$ thì phương trình $x^{3}-3 x^{2}=t$ sẽ có 1 nghiệm $x$.
Do đó mỗi phương trình $x^{3}-3 x^{2}=a ; x^{3}-3 x^{2}=b$ có 3 nghiệm; 4 phương trình còn lại mỗi phương trình có 1 nghiệm. Vậy tổng số nghiệm của phương trinh ban đầu là $2 \times 3+4 \times 1=10$.
Phương trình $f(t)=-\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=a \in(-4 ;-2) \\ t=b \in(-2 ; 0) \\ t=c \in(0 ; 2) \\ t=d \in(2 ;+\infty)\end{array}\right.$. Phương trình $f(t)=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=m \in(-\infty ;-4) \\ x=n \in(2 ;+\infty)\end{array}\right.$.
Bảng biển thiên của hàm số $x^{3}-3 x^{2}$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ của hàm số $t(x)=x^{3}-3 x^{2}$ ta thấy
+) Với mỗi nghiệm $t \in(-4 ; 0)$ thì phương trinh $x^{3}-3 x^{2}=t$ sẽ có 3 nghiệm $x$.
+) Với mỗi nghiệm $t<-4 ; t>0$ thì phương trình $x^{3}-3 x^{2}=t$ sẽ có 1 nghiệm $x$.
Do đó mỗi phương trình $x^{3}-3 x^{2}=a ; x^{3}-3 x^{2}=b$ có 3 nghiệm; 4 phương trình còn lại mỗi phương trình có 1 nghiệm. Vậy tổng số nghiệm của phương trinh ban đầu là $2 \times 3+4 \times 1=10$.
Đáp án D.