Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình...

Quan sát đồ thị ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}_{1}},-2<{{x}_{1}}<-1 \\
& f\left( x \right)={{x}_{2}},-1<{{x}_{2}}<0 \\
& f\left( x \right)={{x}_{3}},1<{{x}_{3}}<2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $f\left( f\left( x \right)-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)-1={{x}_{1}},-2<{{x}_{1}}<-1 \\
& f\left( x \right)-1={{x}_{2}},-1<{{x}_{2}}<0 \\
& f\left( x \right)-1={{x}_{3}},1<{{x}_{3}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}_{1}}+1\in \left( -1;0 \right) \\
& f\left( x \right)={{x}_{2}}+1\in \left( 0;1 \right) \\
& f\left( x \right)={{x}_{3}}+1\in \left( 2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.\text{ }\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\left( 3 \right) \\
\end{matrix}$
Phương trình (1), (2), (3) lần lượt có 3 nghiệm, 3 nghiệm, 1 nghiệm nên phương trình có tất cả 7 nghiệm phân biệt.